Теоретические и практические задачи теории приближений и гармонического анализаНИР

Theoretical and applied problems in approximation theory and harmonic analysis

Источник финансирования НИР

грант РНФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 апреля 2022 г.-31 декабря 2022 г. Теоретические и практические задачи теории приближений и гармонического анализа
Результаты этапа: Одной из задач НИР является исследование структурных свойств солнц, чебышёвских множеств и близких к ним множеств в банаховых и несимметрично нормированных пространствах. B теоремах геометрической теории приближений дается ответ на классические вопросы существования, единственности, устойчивости наилучшего мин- и макс--приближения. Исследуются прямые и обратные теоремы теории приближений для случая солнц и множеств с близкими свойствами. Солнца (или множества Колмогорова) обладают важными характеристическими признаками и свойствами отделимости и имеют ряд новых приложений в задаче описания решений уравнения эйконала (основного уравнения геометрической оптики). B этой и других задачах важную роль играют вопросы теории приближений в нормированных пространствах, а также в несимметрично нормированных пространствах. Задачи, относящиеся к несимметричным приближениям, имеют давнюю историю, но в связи с новыми междисциплинарными постановками выходят на новый уровень. B 2022 в НИР е решены следующие важные задачи, посвященные общим вопросам теории несимметричных пространств и вопросам геометрической теории приближений в симметрично и несимметрично нормированных пространствах: 1) Установлен аналог классической теоремы Банаха--Мазура об универсальности пространств $C[0,1]$ и $C [0,1]^a$ для несимметрично нормированных пространств и пространств с несимметричной метрикой. (А.P. Алимов); 2) Введено новое понятие алгебраической полноты для классов обобщенных дробно-рациональных функций в пространствах $C(Q)$ и $L^p(Q)$. Основываясь на этом понятии, получены серьезные продвижения в вопросах существовании и единственности обобщенного дробно-рационального приближения, а также устойчивости и монотонной связности в задачах обобщенной дробно-рациональной аппроксимации (А.P. Алимов, а также в соавторстве с И.Г. Царьковым); 3) получено описание трехмерных пространств, в которых любое строгое солнце монотонно линейно связно и трехмерных полиэдральных пространств, в которых любое солнце монотонно линейно связно. Это развивает и обобщает предыдущие исследования А.Л. Брауна, А.P. Алимова и Б.Б. Беднова; 4) даются необходимые и достаточные условия монотонной связности аппроксимативно определяемых множеств в трехмерных цилиндрических пространствах в терминах свойств их сечений касательными плоскостями (в этой задаче важную роль играет техника А.P. Алимова и Е.B. Щепина выпуклости множеств по касательным направлениям единичной сферы), что позволяет дать томографическое описание (характеризацию в терминах геометрических свойств сечений) для ряда аппроксимативно определяемых множеств в трехмерных пространствах (чебышёвские множества и солнца). Полученный результат дает ответ на давно поставленную задачу о связности пересечений солнц в трехмерных пространств в ранее не изученном важном частном случае. 5) Получен полный ответ в задаче о совпадении классов δ- и γ-солнц в общих несимметричных пространствах. Также получен несимметричный аналог известного критерия Колмогорова элемента наилучшего приближения для солнц, строгих солнц и α-солнц в общих несимметричных пространствах. (А.P. Алимов) Хорошо известно, что существует универсальный тригонометрический ряд: любая измеримая $2\pi$- периодическая функция является пределом сходящейся почти всюду подпоследовательности частных сумм этого ряда. Недавно M.Г.Григорян построил универсальный тригонометрический ряд многих переменных в смысле сходимости по кубам и шарам. Одномерный универсальный ряд не может быть рядом Фурье: из теоремы А.Н. Колмогорова об оценке слабого типа сопряженной функции следует, что ряд Фурье любой интегрируемой функции сходится к ней по мере. Значит, любая почти всюду сходящаяся подпоследовательность частных сумм ряда Фурье интегрируемой функции сходится именно к этой функции. Для многомерных рядов Фурье в работах P.Д. Гецадзе и C.B. Конягина было показано, что при достаточно слабых условиях на расширяющуюся последовательность выпуклых замкнутых множеств $D_n$ в $R^d$, $d>1$, существует интегрируемая на $[-\pi,\pi)^d$ функция $f$ такая, что частные суммы $S_{D_n}(f)$ при $n\to\infty$ не сходятся по мере. B связи с этим M.Г.Григорян поставил вопрос о существовании многомерной интегрируемой периодической функции с универсальным рядом Фурье. C.B. Конягин в 2022 г. дал ответ на этот вопрос для сходимости по Прингсхейму: такой функции не существует. Более того, ее не существует и при ослаблении условия универсальности, если требовать только сходимости для функций из $L_p. p>0$. (C.B. Конягин) B теории целых функций имеется большой раздел, в котором изучается асимптотическое поведение минимума модуля $m(f;\,r)=\min\limits_{|z|=r}\;|f(z)|$ целой функции $f$ на окружности радиуса~$r$ при $r\rightarrow+\infty$. Основной интерес представляет случай, когда~$f$ имеет бесконечно много корней, и нетривиальная оценка снизу возможна лишь на некотором неограниченном подмножестве~$\mathbb{R_+}$. Традиционно оценки снизу для $m(f;\,r)$ даются через некоторую степень максимума модуля $M(f;\,r)=\max\limits_{|z|=r}\;|f(z)|=\max\limits_{|z|\leqslant r}\;|f(z)|$. Классические результаты этого направления широко представлены в монографиях: Boas R. Entire functions. Academic Press, N.-Y., 1954, Hayman W.K. Subharmonic functions. Vol. 2. Academic Press, London, N.-Y., 1989. B русле описанного направления выполнена работа Попов А.Ю., Шерстюков B.Б., "Оценка снизу минимума модуля целой функции рода нуль с положительными корнями через степень максимума модуля в частой последовательности точек" // Уфимский математический журнал. 2022. Том 14. № 4. C. 80-99. Ставится общая задача о возможности степенной оценки $m(f, r_n)>M^{\hskip0.5pt -d}(f;\,r_n)$ с каким-либо показателем $d>0$ на некоторой последовательности $r_n\to +\infty$, удовлетворяющей условию $ \varlimsup \limits _{n\rightarrow\infty} \frac{r_{n+1}}{r_n}<+\infty.$ Получены важные в приложениях целые функции нулевого рода, корни которых расположены на одном луче. Опубликован обзор принципиальных результатов, полученных C.А. Теляковским и А.Ю. Поповым в годы участия А.Ю. Попова в работе научно-исследовательского семинара, руководителем которого был Теляковский [А.Ю. Попов (A.Yu. Popov) О научных контактах с Сергеем Александровичем Теляковским Труды Института математики и механики УрО РАН (2022 г)] . Эти результаты касаются оценок сумм синус-рядов с монотонными и выпуклыми коэффициентами и интегралов от модулей таких функций. Представлены новые результаты, А.Ю. Попова и его соавторов (участников гранта), развивающие идеи C.А. Теляковского. Уделено внимание недавно полученным результатам о скорости сходимости рядов Фурье функций ограниченной вариации. (А.Ю.Попов) Было получено полное описание относительных поперечников классов Соболева в равномерной метрике. Понятие относительных поперечников было предложено Коноваловым в 1984 году. B отличие от поперечников по Колмогорову, в случае относительных поперечников множество K приближается своими конечномерными сечениями или, более общо, n-мерными сечениями другого множества V [B. Н. Коновалов, Оценки поперечников типа Колмогорова для классов дифференцируемых периодических функций // Матем. заметки. 1984. Т.~35, \No~3. C.~369–380] рассмотрел случай, когда K=V и это класс Соболева W^r, и показал, что порядки относительных и колмогоровских поперечников отличаются. Далее было несколько работ на эту тему. B частности, B.Ф. Бабенко [О наилучших равномерных приближениях сплайнами при наличии ограничений на их производные // Матем. заметки. 1991. Т.~50, \No~6. C.~24-30] установил, что если V раздуть в M>1 раз, то порядки будут совпадать. Мы исследуем «фазовый переход» между случаем Коновалова M=1 и случаем Бабенко M>1 и находим правильный порядок роста относительных поперечников в этом случае. B совокупности с известными ранее результатами мы получаем полную картину поведения этих поперечников по параметрам M, n, r. Было начато исследование поперечников систем функций в L_0 (метрика сходимости по мере) для систем характеров, в частности, получено o(1)-приближение тригонометрической системы пространствами размерности o(N). Это результат будет усилен в 2023 году. (Ю.B.Малыхин) B 2022 г. в рамках проекта исследовались аппроксимативные свойства некоторых классов нелинейных множеств, важных для приложений. А именно, были изучены аппроксимативно-геометрические свойства множеств ридж-функций и более общих семейств функций с конечномерной структурой. Точнее рассматривался вопрос о чебышёвости указанных классов функций (свойстве существования и единственности наилучшего приближения). Этот вопрос приводит к задаче исследования свойств множеств, являющихся объединением линейных подпространств. Важность данной проблематики обусловлена, во-первых, ее связью нелинейными методами приближения, а во-вторых, ее теоретической и практической значимостью для геометрической теории приближений. B этой связи стоит упомянуть этим монографию Alexey R. Alimov, Igor' G. Tsarkov, Geometric Approximation Theory, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2022 и работу А.P.Алимова и И.Г.Царькова (A.R.Alimov, I.G.Tsar'kov) "Classical Problems of Rational Approximation" // Doklady Mathematics, (2022 ). B данных работах большое внимание уделено анализу аппроксимативных свойств обобщенных рациональных функций. B то же время, многие возникающие на практике данные и функции имеют ``маломерную'' структуру и изучение общих (в смысле геометрической теории приближений) свойств подобных классов отказывается полезным. Кроме того, были рассмотрены некоторые вопросы, связанные с возможностью представления произвольной функции нескольких переменных в неограниченной области (особенно интересен случай, когда рассматриваются функции на всем Rn). (К.C. Рютин) Ридж-функция на $\mathbb{R}^n$ -- это функция вида $f(\mathbf{a}\cdot \mathbf{x})$, где вектор $\mathbf{a}\in \mathbb{R}^n$ фиксирован и называется направлением, $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n$, $f(\mathbf{a}\cdot \mathbf{x})$ -- стандартное скалярное произведение и $f$ -- вещественная функция. Термин «ридж-функция» появился сравнительно недавно в работе [B.F. Logan, L.A. Shepp, Optimal Reconstruction of a Function from its Projections // Duke Mathematical Journal. 1975. V. 42, № 4. P. 645-659]. Ранее функции такого вида назывались «плоскими волнами» (одно из значений слова «ridge» - длинный узкий участок возвышенности, поэтому иногда ридж-функции также называют рельефными функциями). Линейные комбинации плоских волн являются решениями некоторых гиперболических линейных уравнений в частных производных. Применению плоских волн в задачах математической физики посвящена известная монография [F. John, Plane Waves and Spherical Means Applied to Partial Differential Equations // 1955. Interscience, New York]. Эти функции возникают, например, в ядре оператора Фурье. Ридж-функции играют очень важную роль в ряде прикладных задач, в том числе в компьютерной томографии, исследовании нейронных сетей и теории обучения. Недавно вышедшие монографии [A. Pinkus, Ridge Functions. Cambridge University Press, Cambridge, 2015], [V.E.Ismailov, Ridge Functions and Applications in Neural Networks, AMS 2021] и обзоры [V. E. Ismailov, A review of some results of ridge function approximation // Azerb. J. Math. 2013. V. 3. P. 3-51], [C.B. Конягин, А.А. Кулешов, B.Е. Майоров, Некоторые проблемы теории ридж-функций // Тр. МИАН. 2018. Т 301. C. 155–181] также посвящены изучению этих функций. B 2022 году было установлено разностное свойство высших порядков для функций из различных классов (таких как $D^k$, $C^k$, алгебраические многочлены, аналитические функции и функции ограниченной вариации), определенных на произвольном интервале. Ранее разностное свойство первого порядка для функций из соответствующих классов, определённых на $\mathbb{R}$, было установлено в работе \cite{debruijn}, а затем обобщено в \cite{kul} на случай произвольного (конечного или бесконечного) интервала. C помощью полученных результатов в дальнейшем планируется достичь прогресса в решении известной проблемы Бумана-Пинкуса, которая остаётся нерешённой уже более 20 лет. (А.А. Кулешов) Гладкость конечных сумм ридж-функций. Ранее (см. [C B. Конягин, А.А. Кулешов, О непрерывности конечных сумм ридж-функций // Матем. заметки. 2015. Т. 98, № 2. C. 308-309], [C.B. Конягин, А.А. Кулешов, О некоторых свойствах конечных сумм ридж-функций, определенных на выпуклых подмножествах $\mathbb{R}^n$ // Тр. МИАН. 2016. Т. 293. C. 193 – 2016]) C B. Конягин, А.А. Кулешов (участники НИР) нашли некоторые необходимые и достаточные условия непрерывности конечной суммы ридж-функций на выпуклом теле. B 2022 году мы получили соответствующие необходимые и достаточные условия, при которых такие суммы $k$ раз дифференцируемы. Поставленная задача являлась более сложной из-за особенностей, которые возникают в точках, где граница тела не является гладкой. (АА. Кулешов) Ряд свойств непрерывных монотонных функций был исследован (необходимость исследования этих свойств возникла при изучении до сих пор не решённой задачи, впервые поставленной в [Л.А.Люстерник, Геометрическая задача // УМН. 1946. Т.1. Вып. 3-4. C. 194]. B частности, установлена однозначность восстановления пары таких функций по их разности и разности им обратных. Соответствующая статья (M.Д. Ковалёв, А.А. Кулешов, “О некоторых свойствах непрерывных монотонных функций”) подана в журнал Матем. заметки. (А.А. Кулешов) Хорошо известно, что на геометрические и аналитические свойства голоморфного отображения единичного круга в себя определяющее влияние оказывают его неподвижные точки. Классическими результатами, лежащими в основе практически всех исследований по изучению свойств таких отображений, являются фундаментальные неравенства для внутренней и граничной неподвижных точек. B частности, на классе голоморфных отображений единичного круга в себя с граничной неподвижной точкой имеет место известное неравенство Жюлиа-Каратеодори, дающее оценку снизу угловой производной в граничной неподвижной точке в терминах образа внутренней точки. Получен результат, являющийся уточнением неравенства Жюлиа-Каратеодори. А именно, решена следующая экстремальная задача: на классе голоморфных отображений единичного круга в себя с граничной неподвижной точкой, имеющих фиксированное значение производной во внутренней точке и отображающих эту точку в заданную, найдена точная нижняя грань значений угловой производной в граничной неподвижной точке. B качестве следствия на классе голоморфных отображений единичного круга в себя с граничной неподвижной точкой получена неулучшаемая оценка снизу для угловой производной в граничной неподвижной точке в терминах модуля значения функции и ее производной в начале координат. (О.C. Кудрявцева) Рассматривалась задача нахождения областей взаимного изменения тейлоровских коэффициентов на подклассах ограниченных голоморфных в круге функций с учетом влияния, оказываемого неподвижными точками. Решение указанной задачи на классе функций с внутренней неподвижной точкой принадлежит Шуру (1917 г.). Открытым оставался вопрос об описании областей взаимного изменения коэффициентов в случае, если функция помимо внутренней неподвижной точки имеет произвольный набор граничных неподвижных точек. При этих условиях точное неравенство для первого коэффициента впервые было получено Коуэном и Поммеренке (1982 г.). Другим методом Горяйнов (2017 г.) описал области взаимного изменения коэффициентов в случае одной граничной неподвижной точки. Участником проекта (О.C. Кудрявцевой) предложен метод, позволяющий получать точные области взаимного изменения коэффициентов на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней неподвижной точкой и произвольным конечным набором различных граничных неподвижных точек. (О.C. Кудрявцева) B НИР получено существенное продвижение в следующей задаче, связанной с изучением экстремальных свойств тригонометрических полиномов со спектром во множестве точных квадратов. Напомним, что множество $A\subseteq \N$ называется $\Lambda_p$-множеством (при $p>2$), если найдётся константа $C(A)>0$ такая, что при любых комплексных коэффициентах $\{a_n\}$ справедливо $$ \left\|\sum_{n\in A}a_ne(nx)\right\|_p \leq C(A)\left(\sum_{n\in A}|a_n|^2\right)^{1/2} $$ (здесь и далее используется обозначение $e(u)=e^{2\pi iu}$, а для функции $f$, определённой на окружности $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\Z$, через $\|f\|_p=\left(\int_{\mathbb{T}}|f(u)|^pdu\right)^{1/p}$ обозначена её $L_p$-норма). Другими словами, $A\subseteq\N$ --- $\Lambda_p$-множество, если любой тригонометрический полином со спектром в $A$ имеет $L_p$-норму, по порядку равную $L_2$-норме (то есть, экстремально малую). Хорошо известно, что множество точных квадратов $\{n^2: n\in\N\}$ не является $\Lambda_4$-множеством (а стало быть, и $\Lambda_p$-множеством при $p>4$, в силу неубывания $L_p$-норм по $p$), так как $$ \left\|\sum_{n=1}^Ne(n^2x)\right\|_4 \asymp N^{1/2}(\log N)^{1/4}. $$ B связи с этим естественным образом возникают следующие вопросы. Прежде всего, имеется знаменитый (и до сих пор открытый) вопрос Рудина: является ли множество точных квадратов $\Lambda_p$-множеством при $p\in(2,4)$ ? Кроме того, в 1992 году известные математики Кордоба и Силлеруело \cite{CC} выдвинули следующую гипотезу. Пусть $\gamma\in(0,1)$ и $f$ --- тригонометрический полином, спектр которого содержится во множестве $\{n^2: N\leq n\leq N+N^{\gamma} \}$ (говоря неформально --- во множестве квадратов на <<коротком промежутке>>); тогда $$ \|f\|_4 \leq C(\gamma)\|f\|_2 $$ для некоторого $C(\gamma)>0$, не зависящей от $f$ и $N$. Это утверждение легко доказать при $\gamma\in(0,1/2]$, однако на протяжении 30 лет задача оставалась нерешенной для любого $\gamma>1/2$. B НИР удалось получить в этой задаче существенное продвижение. Теорема: Гипотеза Силлеруело и Кордобы верна для всех $\gamma<\frac{\sqrt5-1}{2}=0.618...$ (M.P. Габдуллин) B настоящее время теория жадных алгоритмов активно развивается и имеет многочисленные приложения, в частности, в вычислительной математике. B 2022 г. в НИР получены следующие результаты: изучалось приближение функции $f$ тригонометрическими полиномами в пространствах $C [-\pi, \pi]$ и $L_1 [-\pi, \pi]$. По разложению $f$ в тригонометрический ряд строился жадный алгоритм. Рассматривались приближения функции с помощью m-членной жадной суммы $G_m$, которая получается из ряда Фурье выбором первых $m$ наибольших коэффициентов $\xi_{j_i}$, $i=1\dots m$. Для фиксированных последовательностей $\beta_m, ~\beta_m^\prime$ неотрицательных чисел, сходящихся к нулю рассмотрим множество $\mathcal A_m=\mathcal A_m(f)\in X$, состоящее из элементов $g$, таких, что их коэффициенты в разложении по $\langle x_i, y_i \rangle$: ~ $\sum\limits_{j=1}^\infty \varkappa_{j}x_{j}$, удовлетворяют условию $$\label{1} j=j_1,\dots j_m ~ \ |\varkappa_j| \leqslant \beta_m.$$ $$\label{2} j\not=j_1,\dots j_m ~ \ |\varkappa_j| \leqslant \beta_m^\prime + \theta_m$$ где $ \theta_m = \min\limits_{i=1 \dots m} |\xi_{j_i}|$. (Ю. П. Светлов)
2 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Теоретические и практические задачи теории приближений и гармонического анализа
Результаты этапа: В 2023 г. в НИР: Начата разработка и получены применения нового аппарата исследования аппроксимативно-геометрических свойств множеств – теории действующих точек сферы – результаты такого рода могут рассматриваться как аналоги классических теорем об очистке из выпуклого анализа и теории приближений – при получении прямых теорем теории приближений внимание обращается только на "действующие" точки для фиксированного множества, т.е. на такие точки, ``аналогами'' которых (при растяжении и сдвиге единичного шара) можно коснуться этого множества. Будет установлена теорема о достаточном условии монотонной линейной связности солнц в конечномерных и бесконечномерных пространствах (в последнем случае, при ограничении на свойства оболочки Банаха-Мазура), обобщающая и уточняющая классическую конечномерную теорему A.Л. Брауна (1987 г.) о связности по Менгеру солнц в конечномерных ВМ-пространствах. Показано, что подмножество $M$ конечномерного нормированного пространства монотонно линейно связно, если любая $M$-действующая точка единичной сферы является (BM)-точкой. Полученный результат также применяется для исследования (BM)-точек конкретных и абстрактных пространств. Дана характеризация трехмерных полиэдральных пространств, в которых любое солнце монотонно линейно связно. Этот результат опубликован: A.R. Alimov, On local properties of spaces implying monotone path-connectedness of suns // J. Anal., 31 (2023), 2287–2295 Получен ряд новых результатов геометрической теории приближений в несимметрично нормированных пространствах непрерывных функций с несимметричным весом. Получен ряд свойств, характеризующих строгие протосолнца (множества Колмогорова) в таких пространствах. Этот результат опубликован: A.R. Alimov, Strict Protosuns in Asymmetric Spaces of Continuous Functions // Results in Mathematics, 78 (2023), 95, 15 pp (Q2). Для несимметрично нормированных пространствах изучена связь между свойствами непрерывности метрической проекции и структурными свойствами типа связности приближающих множеств. Для аппроксимативно компактных подмножеств несимметрично нормированных пространств будут получены условия, гарантирующие связность пересечения с шарами ($Bo$- и $B$-связность) для множеств, у которых оператор метрической проекции имеет связные значения. Установлена плотность (относительно нормы симметризации) множества точек аппроксимативной единственности для внешне сильно полных подмножеств равномерно выпуклых пространств, полных относительно нормы симметризации. (A.P.Алимов, совместно с И.Г. Царьковым). Подготовлена работа, принята к публикации в журнале Filomat. Изучен ряд вопросов существования и устойчивости epsilon-выборок (выборок из оператора почти наилучшего приближения). Получены результаты о связи существования непрерывных epsilon -выборок с другими аппроксимативными и структурными характеристиками приближающих множеств. Получены приложения к задачам приближения абстрактными и конкретными приближающими множествами (n-звенные ломаные, n-звенные r-полиномиальные функции и их обобщения, k-монотонные функции и обобщенные дробно-рациональные функции). Для задач обобщенного дробно-рационального приближения получен ряд результатов, связанных с классическими вопросами существования, единственности и устойчивости наилучших и почти наилучших приближений. Этот результат опубликован: A. P. Алимов, К. С. Рютин, И. Г. Царьков, “Вопросы существования, единственности и устойчивости наилучших и почти наилучших приближений”, УМН, 78:3(471) (2023), 3–52 (Q2) (Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 3, Pages 399–442). B 1986 г. P.Д. Гецадзе показал, что в пространстве размерности больше 1 кубические частные суммы интегрируемой функции могут не сходиться по мере. С.B. Конягин (1989 г.) показал, что функцию можно выбрать так, что любая подпоследовательность кубических частных сумм почти всюду не ограничена. В2022 г. С.B. Конягин (участник НИР) показал, что подпоследовательность частных сумм по Пригсхейму многомерного ряда Фурье действительной функции не может сходиться к $+\infty$ или к $-\infty$ на множестве положительной меры. Для комплекснозначных функций такая постановка не имеет смысла. Естественно возникает вопрос, может ли абсолютная величина последовательности частных сумм сходиться к $+\infty$ на множестве положительной меры. Эта задача была исследована. Показано, что при определенных условиях на последовательность ограниченных подмножеств в $d$-мерном пространстве существует подпоследовательность этой последовательности и интегрируемая на $d$-мерном торе функция, абсолютные величины частных суммы ряда Фурье которой, взятые так, что частоты каждой частной суммы есть множество целых точек из соответствующего элемента подпоследовательности, сходятся к бесконечности почти всюду. Условия на множества даны в терминах норм ядер Дирихле по этим множествам. Дополнительные исследования показывают, что указанному условию удовлетворяет система прямоугольных параллелепипедов с неограниченно растущими ребрами, система раздутия ограниченного выпуклого тела и система гиперболических крестов. Отметим, что в ряде работ P.Д. Гецадзе и С.B. Конягина (1986–2023) получены отрицательные результаты для многомерных рядов Фурье: для тех или иных систем частных сумм существует интегрируемая функция, частные суммы которою расходятся почти всюду. По-видимому, в рамках НИР в 2023 году получен первый положительный результат: для любой интегрируемой периодической функции конечного числа переменных существует подпоследовательность частных сумм по Прингсхейму (т. е. по прямоугольным параллелепипедам с центром в нуле), сходящаяся к данной функции почти всюду, а также в пространствах $L_p$ при всех положительных $p$, меньших единицы. Полученные результаты опубликованы: М. Г. Григорян, С. B. Конягин, "О рядах Фурье по кратной тригонометрической системе" // УМН 78:4(472) (2023), 201–202 ; С.B. Конягин, О сходимости подпоследовательности частных сумм многомерного тригонометрического ряда Фурье по Принсхейму // Труды МИАН, 323, МИАН, М., 2023 (в печати) https://www.mathnet.ru/rus/tm4357 B 2023 г. A.Ю. Поповым (совместно с Т.Ю. Семеновой) получена оценка скорости стремления к нулю норм остатков ряда Фурье через модуль непрерывности и значение вариации функции. Найдена постоянная в главном члене оценки, доказана её точность. Также найдена постоянная во втором члене оценки, доказана ее неулучшаемость более чем на 1. Результат находит применение, в частности, для классов функций, модуль непрерывности которых удовлетворяет условию Гёльдера с показателем $\alpha$, $0<\alpha<1$, а также для классов функций, модуль непрерывности которых может быть оценен снизу степенной функцией от аргумента модуля непрерывности. Прогресс при решении этой задачи осуществлен при помощи модификации метода оценки остатка ряда Фурье, примененного ранее С.Б. Стечкиным и B.Т. Гаврилюк для непрерывных функций, с учётом условия ограниченности вариации функции. B доказательстве использованы оценки величин, аналогичных константам Лебега тригонометрической системы, и различные интегральные свойства ядер Дирихле. Полученные результаты опубликованы: A. Ю. Попов, Т. Ю. Семенова, "Уточнение оценки скорости равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной периодической функции ограниченной вариации", Матем. заметки, 113:4 (2023), 544—559. B 1946 г. Люстерником [УМН, 1:3–4 (13–14) (1946), 194--195] была поставлена следующая геометрическая задача. Пусть в плоскости даны три круга K1, K2, K3 (возможно вырождающихся в полуплоскости или точки). Существует ли отличная от круга фигура – каток – которую можно так непрерывно провернуть на целый оборот, чтобы она все время прилегала ко всем трем кругам K1, K2, K3? Эта задача была решена лишь в нескольких частных случаях (М. Д. Ковалев // Тр. МИАН СССР, 152, 1980, 124–137; М.Д. Ковалев, Геометрические вопросы кинематики и статики, Ленанд, Л., 2019) - например, когда круги вырождаются в полуплоскости. B случае, когда два круга превращаются в полуплоскости, а третий – в точку, лежащую внутри дополнения до этих полуплоскостей, известны невыпуклые катки. Эту задачу выделял и пропагандировал A.H. Колмогоров. Однако до сих пор неизвестно, существуют ли в этой задаче Люстерника–Колмогорова выпуклые отличные от круга катки. Исследуя эту возможность, один из авторов статьи столкнулся с необходимостью сравнения двух непрерывных монотонных функций. B этой задаче решена задача об однозначности восстановления пары непрерывных монотонных функций по их разности и разности их обратных функций. Получены применения для случая $C^k$-гладких сумм ридж-функций на выпуклом теле в терминах условий на $k$-е (частные) производные. Этот результат опубликован: М. Д. Ковалёв, A. A. Кулешов, “О некоторых свойствах непрерывных монотонных функций”, Матем. заметки, 113:6 (2023), 945–949; Math. Notes, 113:6 (2023), 874–878. Исследована задача о жёсткости конечных систем функций. Хорошо известно, что ортонормированная система из N функций является “жёсткой” в L_2 в том смысле, что её элементы нельзя хорошо приблизить линейными комбинациями n других функций, если n существенно меньше N. Были получены аналоги условий жёсткости в других пространствах L_p. При p=1 получилось достаточно сильное требование: а именно, для жёсткости достаточно стохастической независимости (пример: система Радемахера) или безусловности распределения. Это условие влечёт жёсткость даже в наиболее слабой метрике – L_0. Для жёсткости в L_p при 1<p<2 получается более слабое достаточное условие (S_{p’}), которое выполнено, например, для случайных подсистем равномерно ограниченных ортонормированных систем достаточно большого размера. Были получены также положительные аппроксимационные результаты о приближении первых N функций системы Уолша или тригонометрической системы в L_0 пространствами очень малой размерности, а также о приближении в L_p при p<1. Результаты оформлены в виде статьи, статья подана в журнал “Математический сборник”, получено положительное мнение рецензента (формально, статья ещё не принята). (Ю.B.Малыхин) Основное внимание было уделено работе над задачей приближения кусочно-постоянных функций полиномами: мы хотим приблизить многочленом данной степени кусочно-постоянную функцию на объединении данного конечного числа непересекающихся отрезков на прямой (или на комплексной плоскости). По нашему мнению она представляет интерес как сама по себе, так и в связи с различными приложениями к задачам теории приближений, в особенности для изучения дискретных объектов (численные методы линейной алгебры, сложность булевых функций, тензоров итп). Упомянем в связи с подобными приложениями работы Е. Глускина, Н. Алона, A. Шерстова. Сама же постановка относится к классической теории приближений полиномами и связана с именами Е.И. Золотарева, Н.И. Ахиезера, С.Н. Бернштейна, Г. Сегё, Г. Фабера, Дж. Уолша. Данная проблематика активно развивается и до настоящего времени - A. Богатырев, B. Андриевский, A. Еременко, П. Юдицкий, B. Тотик, Ф. Пехерсторфер и других. B основном использовалась техника комплексного анализа, основанная на изучении функции Грина для дополнения к набору отрезков. При этом достаточно сложно получить явные неасимптотические оценки, правильно зависящие от разных параметров, определяющих геометрию области. B совместной работе Ю. Малыхина и К. Рютина были использованы классические методы теории приближений: многочлены Бернштейна, теорема Джексона-Фавара, интерполяция в форме Ньютона. B итоге, удалось получить оценки, уточняющие и обобщающие результаты предшественников. При этом удалось в ряде случаев удалось получить правильную зависимость от геометрии отрезков. Кроме того, даются достаточно явные конструкции аппроксимирующих полиномов. B качестве следствия удалось обобщить технику улучшения аппроксимации на случай нескольких значений. Эта техника состоит в том, что применяя построенный полином, хорошо приближающий заданный набор значений на данном наборе отрезков, можно строить по данным приближению класса подпространством приближение подпространством более высокой, но контролируемой степени с большей точностью. Подготовлена статья, направлена в Journal of Approximation Theory. (Ю.B. Малыхин, К.С. Рютин) B настоящее время теория жадных алгоритмов активно развивается и имеет многочисленные приложения, в частности, в вычислительной математике. Получена новая улучшенная версия жадного алгоритма с использованием биортогональных систем в сепарабельных банаховых пространствах. Рассматривается аппроксимация элемента f с помощью m-членной жадной суммы: она получается из разложения путем выбора первых m наибольших по абсолютной величине коэффициентов. Известно, что жадный алгоритм не всегда сходится к исходному элементу. Данный улучшенный жадный алгоритм отличается от исходного тем, что из m-членной жадной суммы вычитаются функции (подбираемые специальным образом), коэффициенты в разложении которых по биортогональной системе по абсолютной величине не превосходят элементов двух последовательностей неотрицательных чисел, стремящихся к нулю. Показано, что полученная версия жадного алгоритма, называемая регуляризованным жадным алгоритмом, всегда сходится к исходному элементу в пространствах Ефимова—Стечкина (иногда называемых рефлексивными пространствами Кадеца-Кли). Характеризационным свойством таких пространств является аппроксимативная компактность любой гиперплоскости. Построены контрпримеры, в которых регуляризованная аппроксимация не сходится. Подготовлена работа. (Ю.Светлов) Получены необходимые и достаточные условия монотонной линейной связности линейно связного подмножества конечномерного нормированного пространства. Ясно, что всякое монотонно линейно связное множество является линейно связным. Дан ответ на естественный вопрос: при каких условиях заданное линейно связное множество в линейном пространстве $\mathbb {R}^n$ является монотонно линейно связным в некоторой норме? Этот результат опубликован: Е. A. Савинова, Множества в $\mathbb {R}^n$, монотонно линейно связные в некоторой норме // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2023, № 1, 53–55. Исследована задача устойчивости линейных динамических систем с переключениями на плоскости. A.П. Молчанов и Е.С. Пятницкий доказали, что система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда показатель Ляпунова (наибольший показатель экспоненциального рост траекторий) отрицателен. Одним из наиболее эффективных методов вычисления показателя Ляпунова является метод инвариантных норм Ляпунова. Н.Е. Барабанов (1988) доказал, что для любой неприводимой системы инвариантная норма Ляпунова существует. Однако, ее построение – чрезвычайно сложная задача. A.М. Мусаева (участник НИР) показала, что в планарном случае для конечных неприводимых систем инвариантные нормы является кусочно-аналитическими функциями, при этом она получила общий вид таких норм. Представлены метод построения и алгоритм вычисления показателя Ляпунова, а также способ определения устойчивости системы. Этот результат опубликован: A.М. Мусаева, “Построение инвариантных норм Ляпунова планарных динамических систем”, Матем. сб., 214:9 (2023), 27–57. B 2023 году Е.Д. Алфёровой (в соавторстве с B.Б. Шерстюковым) по тематике НИР получены следующие основные результаты. 1. С помощью мультипликативной версии известной леммы М. Фекете показано, что предел $$ r(p)=\lim_{n\to\infty} \left(\sup_{x\in\mathbb R}\;\prod_{k=0}^{n-1} |\sin(p^k x)|\right)^{1/n} $$ существует для любого действительного значения параметра $p$, т.е. предельная функция $r(p)$ функциональной последовательности $$ r_n(p)=\left(\sup_{x\in\mathbb R}\;\prod_{k=0}^{n-1} |\sin(p^k x)|\right)^{1/n},\quad n\in\mathbb{N}, $$ корректно определена на всей вещественной прямой. 2. Найдено простое доказательство формулы $$ r(2)=\lim_{n\to\infty}r_n(2)=\lim_{n\to\infty}\left(\max_{x\in[0,\pi/2]} \left|\sin x \cdot \sin (2x) \cdot ... \cdot \sin(2^{n-1}x)\right|\right)^{1/n} =\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}. $$ 3. Получены оценки скорости приближения последовательности $r_n(2)$ к величине $r(2)$. 4. Разработан общий метод, позволяющий вычислить точное значение $r(p)$ при любом целом значении $p$ и оценить скорость сходимости $r_n(p)$ к $r(p)$. Полученные результаты оформлены в виде статьи, принятой к печати в журнале ''Математические заметки''.
3 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Теоретические и практические задачи теории приближений и гармонического анализа
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".