|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
Аппроксимация полулинейных дробных эволюционных уравнений в окрестности гиперболической стационарной точкиНИР
Approximation of semilinear fractional evolution equations in a neighborhood of a hyperbolic equilibrium point
- Руководитель НИР: Пискарев С.И.
- Ответственный исполнитель: Пискарев С.И.
- Участники НИР: Мокин А.Ю.
- Подразделение: 4.12.Лаборатория автоматизации программных вычислительных комплексов
- Срок исполнения: 1 января 2023 г. - 31 декабря 2024 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): РНФ 23-21-00005
- Номер ЦИТИС: 123061500029-5
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в различных областях знаний и в нанотехнологиях
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.31.21 Нелинейные уравнения и системы уравнений
- 27.41.19 Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений
-
Ключевые слова:
принцип компактной аппроксимации, дробные дифференциальные уравнения, полулинейные уравнения, аттракторы, численный анализ в дифференциальных уравнениях, затенение
attractors, shadowing, semilinear equations, numerical analysis in differential equations, compact approximation principle, fractional differential equations -
Описание:
Известно, что фазовое пространство в окрестности гиперболической стационарной точки может быть разложено таким образом, что исходная задача сводится к начальным задачам с экспоненциально убывающими решениями в противоположном направлении по времени. Мы используем теорию компактной аппроксимации, чтобы показать, что такое разложение пространства сохраняется в соответствии с довольно общими схемами аппроксимации. В этой связи исследование аппроксимации операторов с некомпактными резольвентами - предмет, использующий меру некомпактности. Можно разработать теорию аппроксимации аналогичную теории как и в случае компактных резольвент, но вводя понятие совместного уплотнения. Таким образом, мы собираемся исследовать на общей аппроксимационной схеме теорию дискретизации операторов со свойством дихотомии. В последние годы огромный интерес к теории уравнений с дробной производной стимулировался приложениями, в которых эти объекты встречаются в самых различных областях физики и техники, включая диффузионные модели в хаотичных средах с фрактальной природой. Поведение решений дробных полулинейных уравнений в окрестности стационарной точки практически не изучалось. Мы предполагаем построить теорию аппроксимации устойчивых и неустойчивых многообразий для дробных уравнений на общей аппроксимационной схеме.
-
Abstract:
It is known that the phase space in the neighborhood of a hyperbolic stationary point can be decomposed in such a way that the original problem is reduced to initial problems with exponentially decreasing solutions in the opposite direction in time. We use theory compact approximation to show that such a space decomposition is preserved in accordance with fairly general approximation schemes. In this regard, the study of approximation operators with non-compact resolutions is a subject using the measure of non-compactness. It is possible to develop an approximation theory similar to the theory as in the case of compact resolvents, but introducing the concept of joint compaction. So Thus, we are going to investigate the theory of discretization of operators with the property of dichotomy. In recent years, great interest in the theory of equations with fractional derivatives has been stimulated applications in which these objects occur in various fields of physics and technology, including diffusion models in chaotic media with a fractal nature. Behavior of solutions of fractional semilinear equations in the neighborhood of a stationary point have practically not been studied. We propose to construct a theory of approximation of stable and unstable manifolds for fractional equations on a general approximation scheme.
-
Научный задел:
В ряде наших статей уже изучалась дробная линейная и нелинейная задача Коши в банаховом пространстве и методы ее аппроксимации явными и неявными разностными схемами. Однако, только недавно 1. Siegmund S., Piskarev S. Approximations of stable manifolds in the vicinity of hyperbolic equilibrium points for fractional differential equations. Nonlinear Dynamics (NODY), 2019, Volume 95, Issue 1, pp. 685--697. 2. Piskarev S., Siegmund S. Unstable manifolds for fractional differential equations. Eurasian journal of mathematical and computer applications. Volume 10, Issue 3 (2022) 58 -- 72. для дробной задачи Коши удалось установить наличие устойчиво и неустойчивого многообразий в окрестности стационарной гиперболической точки, что позволяет нам продвигаться к исследованию поведения решения в окрестности стационарной гиперболической точки, а также аппроксимации траекторий в окрестности стационарной гиперболической точки. Для линейных задач уже получены оценки скорости сходимости разностных схем для дробных задач Коши на равномерной сетке Ru Liu, Piskarev Sergey. Well-Posedness and Approximation for Nonhomogeneous Fractional Differential Equations. Numerical Functional Analysis and Optimization. 2021, VOL. 42, NO. 6, p. 619--643.
- Добавил в систему: Пискарев Сергей Игоревич
Источник финансирования НИР
| грант РНФ |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. | Аппроксимация полулинейных дробных эволюционных уравнений в окрестности гиперболической стационарной точки |
| Результаты этапа: Мы рассматриваем сходимость эффективного численного метода для уравнения субдиффузии \cite{pi98} с дробной производной Капуто по времени. Исследуются неявная разностная схема и явная разностная схема с использованием метода проекции в пространстве и метода конечных разностей, предложенного Аширалиевым во времени. Сочетая метод функционального анализа и технику численного анализа мы используем идею расслоения во временном направлении, чтобы получить, что локальная скорость сходимости равна $O (\tau^\alpha)$. Затем доказaно, что неявный и явный численные методы сходятся со скоростью $O (\tau^\alpha)$ во времени. Более того, установлено, что все разностные схемы, получаемые дискретизацией функции под интегралом в определении дробной производной (т.е. все подходы Бажлековой, Подлубного, Аширалыева, Лиу и т.д.), приводят к схемам с одинаковой скоростью сходимости и устойчивостью. Наконец, приведен численный эксперимент для подтверждения скорости сходимости $\alpha$-го порядка. Книга \cite{pi99} посвящена некоторым разделам теории аппроксимации абстрактных дифференциальных уравнений, а именно аппроксимации аттракторов в случае гиперболических точек равновесия, затенению и аппроксимации дробно-временных полулинейных задач. Мы обсуждаем и исследуем такие понятия, как абстрактные параболические уравнения, общие схемы аппроксимации, компактная сходимость, аттракторы, неустойчивые и устойчивые многообразия, полунепрерывность сверху и снизу аттракторов, принцип аффинности, принцип компактной аппроксимации, полулинейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, периодические решения полулинейные уравнения, устойчивость решения по Ляпунову, гиперболические точки равновесия, полупотоки, вращение векторных полей, индекс решения, затенение, аналитические $C_0$-полугруппы, банаховы пространства, полудискретизация, дискретизация в пространстве и во времени, дробные уравнения, дробные степени операторов, уплотняющие операторы и т. д. Главы по аппроксимации дробных уравнений содержат плеяду новейших достижений в области аппроксимации решений в окрестности гиперболической стационарной точки. А именно, во-первых, выяснилось, что в отличие от динамических систем с целой производной определение гиперболической стационарной точки принципиально меняется. Пусть наш оператор $A$ порождает аналитическую полугруппу и имеет компактную резольвенту. Тогда оператор $A + f'(u^*)$ также будет порождать аналитическую полугруппу и иметь компактную резольвенту, а значит, в правой полуплоскости будет располагаться конечное число собственных значений. Однако, в отличие от случая целых производных, спектр, лежащий в правой полуплоскости, разбивается на две группы. Собственные значения первой группы имеют собственные векторы, на которых $S_\alpha(t)$ убывают (пусть и не экспоненциально), а другая часть ведет себя как и в целочисленном случае. Во-вторых, такая картина меняет наши представления о затенении в окрестности гиперболической стационарной точки. Мы намерены в 2024 году полностью исследовать этот вопрос. В тоже время, для дробных уравнений нам удалось получить неравенство коэрцитивности в пространстве $C_0^\alpha([0,T];E).$ В пространстве $L^p([0,T];E)$ неравенство коэрцитивности получили наши конкуренты из Китая для случая UMD пространства $E$. | ||
| 2 | 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. | Аппроксимация полулинейных дробных эволюционных уравнений в окрестности гиперболической стационарной точки |
| Результаты этапа: | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".