ИСТИНА

Разработка теории индекса, объединяющей теорию индекса калибровочно-инвариантных семейств и теорию индекса эквивариантных семейств операторов с коэффициентами в C*-алгебрах, и применение ее в теории струн и топологии многообразий.

It is planned to develop an index theory that combines the index theory for gauge-invariant families and the theory of equivariant families of A-operators. By A-operators here we mean continuous A-morphisms of Hilbert C*-modules over A. These modules arise as Sobolev spaces for pseudodifferential (elliptic) operators acting on sections of smooth bundles over a manifold with a fiber that is a finitely generated projective module over a C*-algebra A. A gauge-invariant family is a family of pseudodifferential (elliptic) operators that is equivariant under the action of a locally trivial bundle of compact Lie groups. As a variant of twisted K-theory, the corresponding gauge-invariant K-theory is naturally related to mathematical physics (D-branes), and the theory of equivariant elliptic A-operators is inspired (especially in the topologically important case A=C*(П), where П is the fundamental group of a compact manifold) by studying non-simply connected manifolds. Although such a formulation of the problem is new, we see that, on the one hand, it is completely natural, and, on the other hand, it seems to be very promising.

В 2023 году предполагается завершить нахождение правильных условий конечности, обеспечивающих, в частности, возможность корректного определения аналитического индекса. Затем предполагается доказать свойства аналитического индекса, необходимые для применения аксиоматического подхода. При этом предполагаемые основные результаты в 2023 году будут: 1) Получение окончательных формулировок условий конечности и насыщенности в рассматриваемом контексте. 2) Нахождение корректного определения аналитического индекса. 3) Доказательство основных свойств этого индекса.

В области теорем об индексе Е.В.Троицким с соавторами получены существенные результаты по доказательству калибровочно-инвариантной теоремы об индексе и по оказательству теоремы об индексе для эллиптических операторов с коэффициентами в С*-алгебрах. Собственно, получение и применение теоремы, объединяющей эти два направления и составляет суть данного проекта,. Более конкретно, в работах [Nistor, Victor; Troitsky, Evgenij: An index for gauge-invariant operators and the Dixmier-Douady invariant. Trans. Amer. Math. Soc. 356 (2004), no. 1, 185-218], [Nistor, Victor; Troitsky, Evgenij: The Thom isomorphism in gauge-equivariant K-theory. C*-algebras and elliptic theory, 213-245, Trends Math., Birkhauser, Basel, 2006], [Nistor, V.; Troitsky, E.: Analysis of gauge-equivariant complexes and a topological index theorem for gauge-invariant families. Russ. J. Math. Phys. 22 (2015), no. 1, 74-97] была развита теория калибровочно-инвариантных семейств и доказана теорема об индексе. В работах [Troitsky, E. V.: The index of equivariant elliptic operators over C*-algebras. Ann. Global Anal. Geom. 5 (1987), no. 1, 3-22.], [Troitsky, Evgenij V. "Twice'' equivariant C*-index theorem and the index theorem for families. Noncommutative geometry and operator K-theory. Acta Appl. Math. 68 (2001), no. 1-3, 39-70] были доказаны различные варианты теоремы об индексе для операторов с коэффициентами в С*-алгебре. Ранее Е.В.Троицким и Д.В.Фуфаевым совместно была проведена результативная работа, в ходе которой были установлены весьма тонкие свойства топологии операторов в гильбертовых модулях, позволяющие применять к А-компактным операторам некоторые методы теории "обычных" компактных операторов. Предположительно, это будет применено во фрегольмовой теории, которая должна быть разработана в рамках данного проекта. Кроме того, нами были сформулированы некоторые предварительные варианты условий типа конечности.

В 2024 году предполагается доказать (с помощью введенных условий) основные свойства К-теории, в терминах которой будет решаться данная задача. В частности, необходимо доказать соответствующий изоморфизм Тома и получить интерпретацию К-теории в терминах комплексов. На этой основе должны быть проверены для топологического индекса соответствующим образом сформулированные аксиомы (предположительно, для аналитического они в основном будут проверены в 2023). Применение аксиоматического метода должно завершить доказательство теоремы об индексе. Также планируется начать исследования в области приложения полученных результатов в топологии и теории струн, а также возможность их обобщения на группоиды общего вида, но конкретные результаты, скорее всего, будут получены в последующие годы. При этом предполагаемые основные результаты в 2024 году будут: 1) Доказательство изомофизма Тома в К-теории калибровочно-инвариантных С*-расслоений. 2) Доказательство теоремы об индексе для калибровочно-инвариантных семейств эллиптических операторов с коэффициентами в С*-алгебре.