ИСТИНА

Данный проект посвящен исследованию алгебраических и комбинаторных свойств и инвариантов матриц над различными алгебраическими структурами. Будут рассмотрены: - наиболее фундаментальные матричные инварианты: ранг, определитель, перманент, иммананты; - ряд комбинаторных характеристик матриц и связанных с ними графов: индекс примитивности, индекс цикличности, скрамблинг-индекс; - алгебраические свойства матриц, в частности, длина матричной алгебры и ее подалгебр, отношения коммутативности, q-коммутативности, ортогональности для пар матриц; - аналоги этих матричных свойств, отношений и инвариантов над полукольцами, в частности, макс-алгебрами. Планируется изучение следующих вопросов: - Исследование взаимного поведения матричных инвариантов над макс-алгебрами и другими полукольцами, в том числе, их алгоритмической сложности. В частности, предполагается ответить на ряд открытых вопросов, поставленных в работах Барвинка, Вавасиса, Штурмфельса и других известных математиков, работающих в этой области. - Исследование длины групповых алгебр конечных групп и их матричных представлений и изучение длины неассоциативных конечномерных алгебр, в частности, локально-комплексных алгебр. Предполагаемые результаты ответят на ряд вопросов, сформулированных в работах Паза и Лаффи. - Развитие структурной теории для пар матриц, коммутирующих с точностью до множителя q, рассматривавшихся в работах Мермана, в частности, исследование вторых квази-централизаторов, получение аналога классической леммы о двойном централизаторе матрицы, исследование экстремальных q-централизаторов, а также развитие структурной теории коммутирующих, квази-коммутирующих и ортогональных нормальных матриц над макс-алгебрами. - Исследование графов матричных отношений, в частности, ортогональности, коммутативности, квази-коммутативности, для множества матриц над различными алгебраическими структурами и различных его подмножеств, вычисление их числовых параметров, отвечающее на вопрос Бертрама. - Описание распределения значений перманента для различных классов матриц, проверка гипотез Нимеза, Ресты и Сбурлати. Обоснование реализуемости минимума возможного положительного значения перманента на теплицевых (1,-1)-матрицах, подтверждающее гипотезу Ванлесса. - Исследование возможных значений перманента матрицы с фиксированными элементами из макс-алгебры. - Исследования матричных отображений, сохраняющих или конвертирующих различные иммананты, скрамблинг-индекс и индекс цикличности графа, в частности, продолжение работ по проблеме Полиа конвертации перманента в определитель. - Получение верхних оценок скрамблинг-индекса графа и цветного графа, улучшающих результаты Акельбека, Киркланда и Мулионо и решающих поставленные в их работах проблемы. Все запланированные результаты являются новыми. Их актуальность обусловлена тем, что планируется решить открытые проблемы, поставленные известными математиками в ведущих алгебраических журналах. Актуальность предлагаемой работы подтверждается и тем, что соответствующая тематика является областью активных исследований, в которой в настоящее время работают всемирно известные специалисты, по тематике исследований ежегодно проходят международные конференции, проводятся симпозиумы, школы, семинары, издаются специализированные журналы с числом выпусков 12-18 в год, а также специальные выпуски ведущих математических журналов, как отечественных, так и зарубежных.

This project aim is to study algebraic and combinatorial properties and invariants of matrices over various algebraic structures. There will be considered: - The most fundamental matrix invariants such as: rank, determinant, permanent, immanants; - A number of combinatorial characteristics of matrices and related graphs: primitivity index, cyclicity index and scrambling index; - Algebraic properties of matrices, in particular the length of the matrix algebra and its subalgebras, commutativity, q-commutativity and orthogonality relations for pairs of matrices; - Analogues of these matrix properties, relations and invariants over semirings, in particular, over max-algebras. It is planned to consider the following questions: - The study of the mutual behavior of matrix invariants over max-algebras and other semirings, including their algorithmic complexity. In particular, it is expected to answer a series of open problems posed by Barvinok, Vavasis, Sturmfels and other well-known mathematicians working in this area. - The study of the length of group algebras for finite groups and their matrix representations and the study of the length of non-associative finite-dimensional algebras, in particular, locally complex algebras. Expected results would answer certain questions formulated in the works of Paz and Laffey. - The development of the structural theory for matrix pairs that commute up to a factor q, considered in the works of Mehrmann, in particular, the study of double quasi-centralizers, obtaining an analogue of the double centralizer lemma, the study of extremal q-centralizers, and also the development of the structural theory for commuting, quasi-commuting and orthogonal normal matrices over max-algebras. - The study of graphs of matrix relations, in particular, the orthogonality, commutativity and quasi-commutativity graphs for the matrix set and its subsets over various algebraic structures, the calculation of their numerical characterictics, answering the question of Bertram. - The description of the permanent values distribution for different classes of matrices, confirming the conjecture of Nemeth, Resta and Sburlati. The proof of the realizability of the minimal possible positive value of permanent on Toeplitz (1, -1)-matrices, confirming the conjecture of Wanless. - The study of the possible values of the permanent of a matrix with fixed elements from the max-algebra. - The study of matrix mappings, preserving or converting various immanants, scrambling index and the cyclicity index of a graph, in particular, the continuation of research of the Polya problem on conversion of the permanent into the determinant. - Obtaining the upper bounds for scrambling index of graphs and colored graphs, improving results of Akelbek, Kirkland and Mulyono and solving problems posed by them. All planned results are new. Their relevance is due to the fact that it is planned to solve open problems posed by well-known mathematicians in the leading algebraic journals. The relevance of the proposed project is also confirmed by the fact that its topic belongs to an active research area, where currently a number of well-known experts are working, international conferences, workshops, schools and seminars devoted to this subject of research are held annually, specialized journals being published with 12-18 issues per year, as well as special issues of leading mathematical journals, both Russian and foreign.

Описание взаимного поведения тропического ранга и ранга Капранова. Оценка длины групповых алгебр конечных коммутативных групп и характеризация групповых алгебр конечных коммутативных групп максимальной возможной длины. Построение некоторых специальных серий примеров. Оценки длины некоторых неассоциативных алгебр. Аналоги классической леммы о полиномиальности двойного централизатора матрицы для q-централизаторов матриц над алгебраически замкнутыми полями. Изучение графов матричных отношений, в частности отношений ортогональности, коммутативности, q-коммутативности, заданных на множествах матриц над полями и полукольцами, определение диаметров и обхватов связных компонент соответствующих графов. Характеризация пар ортогональных нормальных матриц над макс-алгебрами и ортогонализатора произвольной нормальной матрицы над макс-алгеброй в терминах графа ортогональности множества нормальных матриц. Исследование множества принимаемых значений перманента (0,1)-матриц и (0,1)-матриц специальной структуры. Исследование отображений, сохраняющих и конвертирующих иммананты на различных матричных множествах. Характеризация различных классов матричных отображений, сохраняющих скрамблинг-индекс, обобщенный скрамблинг-индекс, индекс цикличности. Получение верхних оценок скрамблинг-индекса непримитивных матриц (графов) и также для наборов матриц

Получены важные результаты по теме, связанной с темой проекта, в том числе опубликован ряд работ в ведущих мировых журналах по линейной алгебре, решены некоторые известные проблемы.