ИСТИНА

Построение общей теории тонкостенных моментных упругих тел, разработка методов и алгоритмов решения новых нестационарных задач для моментных упругих оболочек, стержней и пластин.

The project is aimed at studying unsteady transient processes in thin-walled elastic bodies (shells, plates and rods), taking into account moment stresses. The main tasks of the project are: construction of a general theory of thin-walled elastic moment bodies, development of methods and algorithms for solving new non-stationary problems for moment elastic shells, rods and plates. The development of modern technology often leads to the need to use models refined in comparison with the classical theory of elasticity, which make it possible to take into account the microstructure of a substance. One of such models is a continuous medium, in which the deformation is described not only by the displacement vector, but also by the rotation vector, is the Cosserat medium, and the names of the moment, asymmetric, and microstructural theory of elasticity have been assigned to the corresponding theory in the literature. In these models, in contrast to the classical theory, the stress state is described by an asymmetric stress tensor. Therefore, such elastic bodies are characterized by a large number of physical constants compared to the classical theory of elasticity. The need for such a complication is often justified by the fact that, using the elastic (and piezoelectric) constants given in the classical theory, it is impossible to interpret, for example, the anomalous piezoelectric effect in quartz, the dispersion of elastic waves in a continuous medium, as well as the elastic properties of quartz, diamond, and other crystals. High hopes are pinned on modeling based on the concepts of generalized continua for the successful and early development of nanotechnology. In modeling and studying the deformations of nanomaterials, methods of solid mechanics are widely used. In this case, nanotubes and graphene layers are often associated with classical models of elastic thin shells and plates. Note that this approach is inaccurate, since in the classical models of elastic shells and plates, the corresponding components of the stress tensor over the thickness of these thin-walled elements are distributed according to certain laws, and graphene or a single-walled nanotube consists of only one layer of atoms. On the other hand, in the presence of graphene or a single-walled nanotube, it is necessary in their discrete models to take into account, in addition to the force, also the moment interaction between atoms. Therefore, in the continuous modeling of graphene and nanotubes, it is important to have adequate applied models of shells and plates based on the moment theory of elasticity.

Ожидаемые конкретные результаты по годам В первый год. 1. Вариационные уравнения динамики сплошной моментной упругой среды. 2. Новые кинематические соотношения и вариационное уравнение нестационарной динамики микрополярной теории тонких упругих оболочек. 3. Новый физический закон микрополярной теории тонких упругих оболочек. 4. Новая общая математическая модель для тонких упругих микрополярных оболочек. Постановка замкнутых начально-краевых задач для тонких упругих микрополярных оболочек. 5. Результаты научных работ над проектом будут отражены в 1 статье, индексируемой в базе данных SCOPUS и одной статье, индексируемой Russian Science Citation Index. 6. Доклады по результатам выполнения проекта на научных мероприятиях. Во второй год. 1. Новые замкнутые математические модели нестационарной динамики упругих моментных пластин и стержней. Замкнутые математические постановки начально-краевых задач микрополярной теории пластин и стержней. 2. Решения новых начально-краевых задач для упругих моментных бесконечных и конечных стержней. 3. Решение новых начально-краевых задач для микрополярных пластин в декартовой системе координат. 4. Результаты научных работ над проектом будут отражены в 1 статье, индексируемой в базе данных SCOPUS и двух статях индексируемых Russian Science Citation Index. 5. Доклады по результатам выполнения проекта на научных мероприятиях.

Получены фундаментальные результаты в области нестационарной динамики и термоупругости сплошных сред с усложнёнными свойствами, теории пластин и оболочек, в том числе с учётом анизотропии свойств материала. Получены фундаментальные результаты в области нестационарных контактных задач и задач динамики тел и элементов конструкций, в том числе с усложнёнными свойствами; в области нестационарной динамики деформируемых твердых тел, нестационарных волновых процессы в вязкоупругих материалах и неоднородных средах с усложнёнными свойствами; в области исследований статики и динамики электромагнитоупругих оболочек и трехслойных тонкостенных элементов конструкций, нестационарных обратных задач механики балок и стержней. Разработаны и реализованы оригинальные методы, алгоритмы и программы для ЭВМ применительно к решению как несвязанных, так и связанных задач нестационарной динамики деформируемых тел, контактных задач механики деформируемого твёрдого тела, нестационарных обратных задач.

2023 г. 1. Получены основные соотношения нестационарной динамики моментных упругих сред. Доказана теорема о кинетической энергии сплошных моментных сред. Построены общие нелинейные физические соотношения для моментной упругой среды. Построены линейные физические соотношения, которые включают три тензора четвертого ранга, компоненты которых являются физическими постоянными анизотропной моментной упругой среды. Сформирована замкнутая система уравнений сплошной моментной упругой среды. Построены Гамильтониан и основное вариационное уравнение сплошной моментной упругой среды. 2. Построены кинематические соотношения и компоненты деформированного состояния для моментных упругих оболочек. Для полей перемещений и углов микроповорота сформулированы гипотезы прямой нормали. С использованием основного вариационного уравнения сплошной моментной упругой среды построен Гамильтониан моментной упругой оболочки. С использованием Гамильтониана и вариационного принципа Гамильтона построено основное вариационное уравнение микрополярной теории тонких упругих оболочек. 3. Получен физический закон микрополярной теории тонких упругих оболочек. Полагаем, что материал оболочки обладает симметрией относительно срединной поверхности. С учетом свойств тензора Леви-Чивита для этого случая получаем физические соотношения моментной упругой среды. С использованием кинематических соотношений для микрополярных оболочек получаем законы изменения напряжений и моментных по толщине оболочки. Использование этих равенств приводит к связи внутренних силовых факторов с кинематическими параметрами оболочки - физическому закону. Показано, что если вектор угла поворота равен нулю и тензор упругих констант симметричен по первой и второй паре индексов, то из полученного физического закона вытекают физические соотношения для анизотропной упругой оболочки без учёта моментных эффектов в материале. Получен частный случай физических соотношений для изотропной микрополярной оболочки. При этом все соотношения получены в тензорной форме. 4. Построена новая общая математическая модель для упругих моментных оболочек. Сформулированы начально-краевые задачи для моментной оболочки. С использованием методов вариационного исчисления и тензорного анализа, основного вариационного уравнения, а также обобщённых физических соотношения микрополярной теории тонких упругих оболочек с произвольной анизотропией упругих и моментных свойств материала построена общая теория упругих моментных оболочек и сформулированы соответствующие начально-краевые задачи для микроополярной оболочки. Основным достоинством этого подхода является то, что соответствующие постановки начально-краевых задач получены в тензорной форме, без привязки к какой-либо определённой системе координат. 5. Дополнительно. Получены результаты исследования нестационарных продольных колебаний моментного упругого стержня конечной длины. Приведена математическая постановка и построено решение задачи о нестационарных колебаниях моментного упругого стержня с учётом поперечного обжатия. Аналитическими методами найдены функции Грина для моментно упругого стержня. Получены и представлены графически зависимости перемещений, изменений углов микроповорота и поперечного обжатия моментного упругого стержня при воздействии нестационарной распределённой осевой нагрузки. 6. Дополнительно. Решена задача о распространении нестационарных волн в поперечном сечении бесконечного полого цилиндра из вязкоупругого функционально-градиентного материала с немонотонно изменяющимися вдоль радиуса свойствами. Цилиндр заменен кусочно- однородным с большим количеством коаксиальных однородных слоев, аппроксимирующих свойства исходного материала. На основе построенного ранее решения для слоистого цилиндра исследованы волновые процессы в цилиндре из вязкоупругого функционально-градиентного материала с разными видами неоднородностей немонотонного характера. 7. Дополнительно. Исследован процесс роста трещины в надрезанной пластине из хрупкого материала при нагружении растягивающими усилиями. Метод решения задачи построен на использовании перспективного численного «бессеточного метода». Решение задачи получено с помощью авторского программного комплекса, реализованного на базе предложенного метода. Полученные результаты позволяют проследить в динамике картину распространения трещины в пластине и сравнить с известными экспериментальными данными. 8. Дополнительно. Решена задача о воздействии произвольно рапределённого нестационарного давления на тонкую цилиндрическую оболочку постоянной толщины с произвольно расположенными локальными опорами. Локальные опоры представляют собой точечные граничные условия типа жесткой заделки либо шарнирной опоры. Подход к решению основан на использовании метода функции Грина и метода компенсирующих нагрузок. Амплитуды компенсирующих нагрузок определяются из системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода с разностным ядром, которая вытекает из граничных условий. Решение системы построено с помощью дискретизации амплитуд компенсирующих нагрузок по времени. Выбор параметров численного интегрирования для функции Грина и дискретизации по времени осуществлён на основе анализа сходимости функции по непрерывной норме с заданной точностью.