ИСТИНА

Спектральный анализ неклассических постановок задач, связанных с дифференциальными и функционально-дифференциальными операторами, определяемыми как обыкновенными, так и частными производными с сингулярными коэффициентами. Изучение корректных постановок задач для вырождающихся эллиптических операторов, операторов смешанного типа, параболических задач в неограниченной области. Наряду со спектральными методами будут развиваться аналитические и топологические методы исследования подобных задач, а также подходы к изучению новых классов нелинейных уравнений, задач оптимального граничного управления и смежные вопросы прикладного матричного анализа.

Spectral analysis of non-classical problem related to differential and functional-differential operators with ordinary and partial derivatives and singular coefficients. Studying well-posed problems for the degenerate elliptic operators, operators of mixed type, parabolic problems in unbounded domains. The spectral methods will be developed together with analytic and topological methods for studying these problems, and also methods of analysing new classes of non-linear equations, problems of optimal boundary control and related topics of applied matrix analysis.

Условия сходимости спектральных разложений в различных метриках, отвечающих дифференциальным операторам с сингулярными коэффициентами, интегральными краевыми условиями, краевыми условиями со спектральным параметром, функционально-дифференциальным операторам с общей инволюцией в главном символе, описание базисных свойств систем корневых функций. Полная классификация асимптотик нефуксового типа для дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами и сильными особенностями. Характер локальной и глобальной стабилизации решений общих параболических уравнений произвольного порядка при большом времени. Корректность постановок общих граничных задач для уравнений смешанного типа. Изучение задач оптимального граничного управления на графах и при наличии дополнительных ограничений в виде неравенств, а также задач терминального управления с фазовыми ограничениями разного типа. Построение классов явных решений нелинейных уравнений с частными производными, описание множеств неподвижных точек функционалов в топологических пространствах.

Исследования являются продолжением научной работы, осуществляемой учениками В.А.Ильина, на основе подходов и теоретических результатов в области изучения несамосопряженных задач математической физики, спектральных свойств неклассических задач, аналитических подходов к решению задач управления. Участниками проекта опубликовано более 500 работ по тематике исследований, создан существенный научный задел и разработана методика для решения поставленных задач.