Разработка комплексного подхода к выражению алгебраических свойств матриц при помощи матричных инвариантовНИР

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 17 мая 2012 г.-31 декабря 2012 г. Разработка комплексного подхода к выражению алгебраических свойств матриц при помощи матричных инвариантов
Результаты этапа: Матричные инварианты играют важную роль как в линейной алгебре, так и в ее приложениях. Разрабатывается комплексный подход к различным матричным инвариантам: рангу, определителю, перманенту, имманантам, би-определителю. Проведено исследование взаимосвязей различных матричных инвариантов между собой и их связей с алгебраическими функциями и отношениями на матричной алгебре, такими как длина и размерность. Исследованы различные частичные порядки, в том числе, минус-порядок, порядки Дрейзина, бриллиантовый порядок, порядки, заданные групповой обратной матрицей, на пространстве матриц и их аналоги на пространстве ограниченных линейных операторов на гильбертовом пространстве. Изучена структура фробениусовых эндоморфизмов некоторых из этих инвариантов и отношений. Исследованы вопросы существования биективных конвертеров перманента в определитель и доказано их отсутствие для матриц над произвольным конечным полем характеристики, отличной от 2. Также изучены границы Гибсона для числа нулей конвертируемых матриц над конечными и бесконечными полями для случаев полной матричной алгебры и алгебры симметричных матриц. Тем самым получено отрицательное решение проблемы Полиа существования преобразований матричной алгебры, при которых определитель образа равняется перманенту прообраза, в классе биективных отображений матриц над произвольными конечными полями характеристики, отличной от 2. Рассмотрена серия классических полукольцевых ранговых функций: ранг Гондрана-Мину, тропический, детерминантный и факторизационный ранги, строчные и столбцовые ранги. Получены новые соотношения и связи между ними. Изучены вопросы существования решения системы линейных уравнений с полукольцевыми коэффициентами, в частности, с коэффициентами из максалгебры.
2 10 января 2013 г.-31 декабря 2013 г. Разработка комплексного подхода к выражению алгебраических свойств матриц при помощи матричных инвариантов
Результаты этапа: Обобщены полученные по итогам первого года результаты о конвертерах перманента в детерминант на другие иммананты и на симметрические матрицы. Продолжено изучение алгебраических свойств функции длины на матричной алгебре. В частности, получены оценки длины различных систем порождающих алгебры полумагических матриц, получена классификация с точностью до сопряженности коммутативных матричных подалгебр длин n-1 и n-2 над произвольными полями мощности не менее n+1, охарактеризованы матричные алгебры длины 1, описаны связи длины алгебры и индекса нильпотентности ее радикала Джекобсона. Расширен метод матричных деформаций и с его помощью изучены монотонные относительно регулярных порядков отображения. В частности, изучены монотонные относительно #-порядка отображения алгебры линейных операторов на гильбертовом пространстве. Построена общая теория ранговых функций над полукольцами, в частности, изучены связи некоторых рангов, разработаны на основе полученных в истекшем году результатов метод тропических шаблонов для оценки и вычисления ранговых функций над макс-алгебрами, и полученные результаты применены к решению систем линейных уравнений над макс-алгебрами.
3 10 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. Разработка комплексного подхода к выражению алгебраических свойств матриц при помощи матричных инвариантов
Результаты этапа: Матричные инварианты играют важную роль как в линейной алгебре, так и в ее приложениях. В ходе работ по проекту разработан комплексный подход к различным матричным инвариантам: рангу, определителю, перманенту, имманантам, би-определителю. При его помощи исследованы взаимосвязи различных матричных инвариантов между собой и их связи с алгебраическими функциями и отношениями на матричной алгебре, такими как длина и размерность. Исследованы различные частичные порядки, в том числе, минус-порядок, порядки Дрейзина, бриллиантовый порядок, порядки, заданные групповой обратной матрицей, и соответствующие f-аналоги. Изучена структура фробениусовых эндоморфизмов этих инвариантов и отношений. Исследованы вопросы существования конвертеров для различных имманантов и получено отрицательное решение проблемы Полиа существования преобразований матричной алгебры, при которых определитель образа равняется перманенту прообраза, в классе биективных отображений матриц над произвольными конечными полями характеристики, отличной от 2. Рассмотрены матрицы над полями и полукольцами. Установлены новые соотношения и связи между различными ранговыми функциями над макс-алгебрами: Гондран-Мину, тропический, детерминантный, факторизационный и другие ранги. Исследована связь между факторизационным и другими рангами над полукольцами неотрицательных чисел. Получены новые критерии существования решения системы линейных уравнений с полукольцевыми коэффициентами, в частности, с коэффициентами из максалгебры. Полученные результаты могут далее применяться к решению серии актуальных задач алгебры, комбинаторики и теории графов.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".