ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ИПМех РАН |
||
Проект посвящен изучению оценок скорости сходимости распределений сумм и экстремумов сумм независимых случайных величин к асимптотической аппроксимации, вид которой определяется соответствующей предельной теоремой. Целью проекта является построение новых и уточнение наиболее популярных моментных оценок погрешности такой аппроксимации, использующих информацию о первых моментах элементарных слагаемых, которые можно просто вычислить (оценить) на основе статистической информации. Рассматриваются две схемы суммирования независимых случайных величин и связанные с ними предельные теоремы. В первой схеме число слагаемых считается детерминированным - не случайным. Для такой схемы суммирования рассматривается неклассическая задача оценки скорости сходимости точного распределения экстремумов сумм независимых случайных величин к предельной функции распределения, в качестве которой рассматривается асимптотическая аппроксимация, основанная на (функциональной) центральной предельной теореме – так называемое полунормальное распределение – распределение модуля нормально распределенной случайной величины, совпадающее с распределением максимума стандартного винеровского процесса на единичном отрезке. Во второй схеме индекс суммирования сам является случайной величиной, независимой от слагаемых. При этом рассматриваются две возможности: в первой индекс является случайной величиной с распределением Пуассона, во второй число слагаемых в суммах формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса). Для таких схем суммирования рассмартиваются оценки скорости сходимости распределений пуассоновских и смешанных пуассоновских случайных сумм к нормальному закону и масштабным смесям нормального закона соответственно.
В первый год работы над проектом внимание было уделено ситуации, которая часто возникает на практике, когда число N слагаемых в сумме заранее не известно - заранее фиксируется не число наблюдений, а время для сбора информации. Были рассмотрены и изучены случайные суммы, в которых число слагаемых формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса). В качестве прикладного применения таких сумм был рассмотрен процесс риска, где случайная сумма является адекватной математической моделью суммарных выплат страховой компании. В частности, изучены асимптотические свойства процесса риска с экспоненциально-Паретовским распределенными промежутками между моментами выплат. Таким образом, число страховых выплат имеет Пуассон-Парето распределение. Получены несколько важных приближений для таких процессов риска, также исследована скорость сходимости к соответствующему предельному закону. Другая проблема, изученная в ходе работы над проектом, связана с задачей прогнозирования вероятностей катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий. Эта задача решается с помощью метода, основанного на предельной теореме для геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин и теории Балкемы–Пикандса–Де Хаана. Рассмотрена конструкция, в рамках которой в качестве предельного распределения для геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин возникает распределение Вейбулла–Гнеденко. Эффективность метода иллюстрируется на примере его применения к прогнозированию наводнений в Санкт-Петербурге. Для этой цели была разработана в среде Visual Studio .Net программа прогнозирования вероятностей катастроф, написанная на языке высокого уровня C#.
МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. | Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для случайных сумм и экстремумов сумм независимых случайных величин |
Результаты этапа: улучшение абсолютных констант в оценках точности аппроксимации для смешанных пуассоновских случайных сумм; построение оценки скорости сходимости в предельной теореме для биномиальных случайных сумм при неисследованных ранее значениях параметра биномиального распределения; исследование асимптотического поведения экстремумов сумм. | ||
2 | 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. | Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для случайных сумм и экстремумов сумм независимых случайных величин |
Результаты этапа: На основе анализа имеющихся данных по техногенным ЧС, произошедших на объектах газораспределительной системы были выявлены причины, способствующие возникновению аварий и ЧС, выявлены факторы-причины аварий, приводящие к наиболее значительным ущербам. Представлено в статье решение задачи прогнозирования ущербов техногенных чрезвычайных ситуаций, рассматриваемых как поток неоднородных экстремальных событий на основе использования метода, основанного на предельной теореме для геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин и теоремы Балкемы–Пикандса–Де Хаана, получения распределения Вейбулла-Гнеденко как предельного распределения для рассматриваемых случайных величин. Разработанный метод дает возможность оценить вероятность наступления чрезвычайной ситуации и потенциального ущерба в результате реализации ЧС, что позволяет выполнять прогнозы редких экстремальных событий, не обязательно основываясь на статистике самих этих катастрофических событий. При этом, случайные величины имеют не обязательно одинаковое распределение, что является существенным моментом, повышающим адекватность прогнозирования рисков. |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".