| 1 |
1 января 2013 г.-31 декабря 2013 г. |
Стохастические системы с циклическими управляющими процессами |
| Результаты этапа: Цель проекта – исследование стохастических систем с циклическими управляющими процессами, которые, являясь обобщением многих видов случайных процессов, объединяют широкий круг прикладных задач. В ходе выполнения проекта в 2013 году получены следующие основные результаты.
Доказаны эргодические теоремы для многоканальных систем обслуживания с ненадежными и неидентичными приборами при регенерирующем входящем потоке, а также для систем с ограничениями и иерархических сетей. Установлены функциональные предельные теоремы для процессов, описывающих функционирование этих систем в условиях высокой и сверхвысокой загрузки. Для одноканальной модели исследованы большие уклонения стационарного распределения.
Проведен сравнительный асимптотический анализ многоканальных систем с отдельными очередями перед приборами и дисциплинами выбора прибора из некоторого класса.
Исследовано асимптотическое поведение бесконечноканальных систем при тяжелом хвосте распределения времени обслуживания, а также модифицированных бесконечноканальных моделей.
Для моделей управления запасами с дискретным временем и ненадежными поставщиками найдены оптимальные стратегии, минимизирующие средние издержки за n циклов. Изучены различные модификации модели. Доказано существование асимптотически оптимальных стратегий. Исследована устойчивость моделей к малым флуктуациям параметров и возмущениям входящих потоков. В терминах равномерной метрики получены оценки флуктуаций уровня запасов через флуктуации величины спроса.
Исследованы ветвящиеся случайные блуждания (ВСБ) с бесконечной дисперсией скачков. Установлены условия невозвратности для такого ВСБ на многомерной решетке с одним центром размножения и гибели частиц. Доказана теорема о структуре спектра эволюционного оператора. Для общей модели ВСБ с конечным числом источников выявлены фазовые переходы в надкритическом случае, а также найдены условия экспоненциального роста численности частиц. Доказаны предельные теоремы для функции Грина переходных вероятностей ВСБ при произвольном значении параметра и теоремы о больших уклонениях. При различных предположениях о лежащем в основе ВСБ процесса случайного блуждания проанализированы фазовые переходы ВСБ и проведена их классификация. |
| 2 |
1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. |
Стохастические системы с циклическими управляющими процессами |
| Результаты этапа: Цель проекта – исследование стохастических систем с циклическими управляющими процессами, которые, являясь обобщением многих видов случайных процессов, объединяют широкий круг прикладных задач. В ходе выполнения проекта в 2014 году получены следующие основные результаты. Установлены необходимые и достаточные условия стабильности для дискретной многоканальной системы обслуживания с неидентичными и ненадежными приборами при различных дисциплинах возобновления обслуживания после его прерывания. Проведен асимптотический анализ процесса, определяющего число требований в этой системе, в условиях сверхвысокой загрузки. Для одноканальной системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком найдены условия, при которых существует ненулевой логарифмический предел вероятностей больших уклонений времени ожидания в стационарном режиме. Исследована надежность большой системы, функционирующей в случайной среде. Выделены три типа поведения, определяемые степенью надежности отдельных элементов. Для бесконечноканальной системы с тяжелым хвостом распределения времени обслуживания при пуассоновском входящем потоке доказана функциональная предельная теорема, устанавливающая слабую сходимость нормированного числа требований в системе к гауссовскому процессу. Для одноканальной системы с ненадежным прибором, выход из строя и восстановление которого определяется марковской случайной средой, найдено условие стабильности. Для моделей теории запасов с несколькими источниками пополнения изучено асимптотическое поведение уровня запасов при неограниченном увеличении горизонта планирования. Доказан аналог закона больших чисел для рассматриваемых моделей. В рамках стоимостного подхода для многокомпонентных моделей страхования, проведена оптимизация функционирования страховой компании с учетом выплаты дивидендов, использования банковских
займов, инвестиций и перестрахования. Для ветвящихся случайных блужданий, играющих важную роль при анализе сложных стохастических систем, проведена классификация асимптотического поведения процесса в зависимоcти от интенсивностей размножения и гибели частиц в источниках и свойств блуждания. Это потребовало применения и развития методов спектральной теории операторов типа свертки с многоточечным потенциалом как для симметричных операторов, так и для операторов с нарушением симметрии блуждания в источниках. Исследована структура популяции частиц внутри фронта распространения частиц. Получены новые предельные теоремы, когда лежащее в основе процесса случайное блуждание имеет бесконечную дисперсию скачков. Для некоторых биологических приложений важно изучение цикличности процесса, т.е. постоянного возвращения к исходному состоянию. Для случайного блуждания цикличность определена и исследована в терминах функции Грина случайного блуждания в зависимости от размерности пространства блуждания. |
| 3 |
1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. |
Стохастические системы с циклическими управляющими процессами |
| Результаты этапа: Основная цель исследований заключительного года проекта – асимптотический анализ стохастических систем с циклическими управляющими процессами в различных предположениях относительно определяющих процессов. В качестве циклических процессов выступают стационарные метрически транзитивные последовательности, марковские, семи-марковские и регенерирующие процессы, обновляющиеся случайные последовательности, цепи Маркова со случайным инфинитезимальным оператором и другие процессы, позволяющие исследовать новые модели сложной структуры, возникающие во многих разделах теории вероятностей и ее приложений, таких как теория очередей, теория ветвящихся случайных блужданий, теория страхования и управления запасами. Задачи, которые предполагалось решить в рамках проекта, будучи классическими в своей постановке, важны и актуальны, поскольку они касаются нового класса стохастических моделей. Это включает в себя выяснение условий стабильности, доказательство разного рода функциональных предельных теорем для процессов, описывающих модель, отыскание условий устойчивости основных характеристик по отношению к малым возмущениям параметров, оценки больших уклонений, а также скорости сходимости распределения процесса к предельному.
Результаты, полученные в ходе выполнения проекта, актуальны, лежат в русле развития современной теории вероятностей и теории случайных процессов, полностью соответствуют мировому уровню, а в ряде случаев являются существенным продвижением в своей области.
|
