ИСТИНА

Изучение геометрии и топологии многообразий, динамических систем, экстремалей геометрических функционалов, решений уравнений математической физики, маломерных многообразий, а также возможных приложений современной геометии в физике и молекулярной биологии.

Описан новый класс групп голономии псевдоримановых многообразий. Продолжена работа по бифуркационному анализу гамильтоновых систем в окрестностях их сингулярностей. Изучалась топологическая монодромия в гамильтоновом и неголономном случаях. В частности, опровергнута гипотеза Cushman и Duistermaat о топлогической монодромии. Обобщены хорошо известные результаты Уолла и Арнона о мономиальных базисах в mod 2 алгебре Стинрода на случай mod p. Обнаружено и доказано новое интересное свойство этих базисов, не имеющее аналога для случая mod 2. Построены новые мономиальные базисы в подалгебре алгебры Стинрода mod p, порожденной степенями Понтрягина, что обобщает результаты Арнона и Уолла для p=2. Для линейной системы уравнений мелкой воды на сфере получены эффективные асимптотические формулы для возвышения свободной поверхности. Изучено влияние подводных гор, сферической формы Земли и силы Кориолиса на профиль волны. Исследованы топологические свойства интегрируемого случая для уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4). В частности, для всех значений параметров рассматриваемой интегрируемой гамильтоновой системы построены бифуркационные диаграммы отображения момента, найдены типы критических точек ранга 0, а также определены перестройки торов Лиувилля и описаны круговые молекулы для особых точек бифуркационных диаграмм. Построены новые примеры четностей для диаграмм зацеплений, происходящие из диаграмм. Построены квантовые c_{2}-инварианты свободных узлов и зацеплений. Построены инварианты граф-зацеплений со значениями в картинках. Эти инварианты позволяют сводить многочисленные вопросы об узлах к вопросам об их диаграммах, в частности, приводят к распознаванию широких классов свободных узлов, граф зацеплений. Положено начало теории четности для двумерных узлов и зацеплений. Изучение свойств четностей в теориях узлов, классификация четностей. Доказательство критерия Васильева планарности оснащенных графов. Разработан метод изучения групп, действующих на двумерных поверхностях, посредством инвариантов, принимающих значения в картинках. Получены приложения к теории классических узлов. Получено полное геометрическое описание спектральных данных колец коммутирующих операторов с рациональной спектральной поверхностью, посчитаны примеры пространств модулей пучков без кручения ранга 1 на некоторых рациональных спектральных поверхностях. Проведено численное моделирование одномерных текстур биаксиальных нематических жидких кристаллов. Получен критерий цикличности графа в терминах минимальных миноров, а именно, указан конечный список простых графов, которые, в некотором смысле, являются препятствием к существованию 4-графа с крестовой структурой для данного графа. Описаны все ``достаточно гладкие`` инварианты сопряженности на группе сохраняющих площади диффеоморфизмов двумерного круга в себя, а также на универсальной накрывающей этой группы. Примером такого инварианта является инвариант Калаби (отвечающий инварианту Хопфа - ``спиральности`` - бездивергентных векторных полей в незаузленном полнотории в R^3 с всюду ненулевой компонентой вдоль оси полнотория и касательных к краю полнотория, который в свою очередь обобщает коэффициент зацепления на случай ``распределенных зацеплений`` в полнотории). Доказано, что любой ``достаточно гладкий`` инвариант сопряженности сводится к инварианту Калаби (т.е. является функцией от инварианта Калаби). Описаны решения уравнений индукции с коэффициентами, терпящими разрыв на движущейся поверхности. Доказано, что решение имеет дельта-образную особенность на поверхности разрыва. Обобщенные решения определены при помощи специальной регуляризации; доказано, что в ряде ситуаций обобщенное решение не зависит от способа регуляризации. Исследованы решения волнового уравнения на сингулярном пространстве, полученном склейкой полупрямой с евклидовым пространством, сферой или плоскостью Лобачевского. Получен аналог формул Герглотца - Петровского для решения задачи Коши. Изучены спектральные серии оператора Шредингера с комплексным потенциалом, возникающего при описании статистических характеристик кулоновского газа. Показано, что в квазиклассическом пределе собственные числа концентрируются вблизи графа на комплексной плоскости, который вычисляется явно. Пределы собственных чисел находятся из условий целочисленности периодов голоморфной формы на соответствующей римановой поверхности. показано, что предельные переходы в обобщенной системе Тоды определяются диаграммой Хассе порядка Брюа на группе перестановок из n элементов (в случае различных собственных значений) или на множестве перестановок мультимножеств (в случае повторяющихся собственных значений). Построены когомологии n-симплициального отношения, обобщающие на многомерный случай конструкцию когомологий Янга-Бакстера, использовавшихся ранее для построения инвариантов многомерных узлов. Эти когомологии (в малых размерностях) могут быть применены для построения новых решений уравнений тетраэдра. Описан ряд геометрико-статистических методов, которые позволяют анализировать информацию, содержащуюся в Protein Data Bank и других подобных базах даных, на на внутреннюю непротиворечивость и согласованность с общей теорией. Также найден ряд примеров, показывающих, что данные PDB требуют тщательного отбора и анализа. Развивается метод частичной стабилизации локально минимальных сетей, созданный А. О. Ивановым и А. А. Тужилиным для построения примеров кратчайших деревьев заданной топологии, при котором добавления граничных вершин степени 2 производятся не на все ребра исходного локально минимального дерева, а лишь на некоторые. Задача частичной стабилизации локально минимальных деревьев в конечномерном евклидовом пространстве решается в статье полностью, т.е. без ограничения на количество ребер, не подвергающихся подразбиению. Получен критерий того, что такая стабилизация возможна. Кроме того, формализуется общая задача поиска кратчайшего леса, соединяющего конечное семейство граничных компактов в произвольном метрическом пространстве, и доказывается, что такие леса существуют для произвольных наборов компактов, если и только если для любого конечного подмножества объемлющего пространства существует соединяющее его кратчайшее дерево. Построенная теория позволяет проводить дальнейшее обобщение теоремы стабилизации как для произвольных метрических пространств, так и для метрических пространств со специальными свойствами. Исследуются поверхности Адамара кривизны не больше k, являющиеся частным случаем поверхностей Александрова. В частности, показано, что полный угол в точках такой поверхности не меньше, чем 2π. Также получено точное значение отношения Штейнера в случае неограниченной поверхности при отрицательном k. Исследуется вопрос, обратный задаче поиска минимальных разветвлённых геодезических в нормированных пространствах. А именно, пусть задано нормированное пространство. Тогда определён вид минимальных разветвлённых геодезических в нём. Требуется найти все возможные нормы, для которых вид минимальных разветвлённых геодезических совпадает с заданным. Подробно разобран случай евклидовых норм. Отношение Штейнера–Громова метрического пространства X характеризует отношение веса минимального заполнения к длине минимального остовного дерева для конечного подмножества X. Доказано, что отношение Штейнера–Громова произвольного риманова многообразия не превосходит отношения Штейнера–Громова евклидова пространства той же размерности. Понятие минимального заполнения n-точечных метрических пространств было введено А. О. Ивановым и А. А. Тужилиным. Ранее предполагалось, что в каком-то смысле “почти для всех пространств” такое заполнение единственно. Построен контрпример к этой гипотезе. Отношения Штейнера, Громова–Штейнера и суботношение Штейнера – это фундаментальные характеристики метрического пространства. Предпринята попытка найти эти отношения для пространства компактов с введённым на них расстоянием Хаусдорфа. Суботношение Штейнера – это фундаментальная характеристика метрического пространства, введённая А. О. Ивановым и А. А. Тужилиным. Предпринята попытка оценить это отношение для пятиточечных подмножеств евклидовой плоскости и четырёхточечных подмножеств трёхмерного пространства. Рассматривается подход к определению вероятностной меры для пространства минимальных заполнений конечных метрических пространств. Приводимый вариант является весьма естественным и в то же время не очень сложным для вычислений. С его помощью возможно вычисление асимптотик отношений вероятностей различных семейств топологий, а получаемые величины подтверждаются компьютерным экспериментом. рассматривается метод решения уравнения Колмогорова–Феллера для ультраметрического случайного блуждания в аксиально симметричном внешнем поле. Переходная функция w(y∣x), x,y∈Qp такого случайного процесса несимметрична и зависит от нормы p-адического аргумента. Доказывается, что для переходных функций вида w(y∣x)=ρ(|x−y|p)φ(|x|p) решение уравнения Колмогорова–Феллера, описывающего случайное блуждание в p-адическом шаре радиуса pR, сводится к решению системы R+1 обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказано обобщение теоремы Бертрана на абстрактные поверхности вращения без "экваторов". На любой такой поверхности описаны все центральные потенциалы, для которых все ограниченные неособые орбиты замкнуты и которые имеют ограниченные неособые некруговые орбиты. Изучены классификация и геометрия рассматриваемых поверхностей. Для произвольных римановых многообразий вращения (в том числе с экваторами) получена классификация римановых многообразий вращения и центральных потенциалов на них, обладающих ``устойчивым’’ свойством Бертрана: всякая параллель является ``почти устойчивой’’ круговой орбитой и любая неособая (т.е. не содержащаяся в меридиане) ограниченная орбита замкнута. Доказательство эквивариантного аналога теоремы Конна-Константа-Розенберга для циклических гомологий алгебр Хопфа с коэффициентами. Исследованы некоторые геометрические свойства пространства модулей пучков без кручения с фиксированным полиномом Гильберта на спектральных поверхностях (такие пучки являются частью спектральных данных). Непустота такого пространства модулей является еще одним существенным ограничением на геометрию спектральной поверхности. Были также подсчитаны такие пространства модулей для некоторых рациональных особых поверхностей. Доказана бесконечность пространства орбит для действия группы автоморфизмов первой алгебры Вейля пар коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами порядков 4 и 4g+2. Получены теоремы о локальном поведении одного класса открытых дискретных отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности между произвольными римановыми многообразиями. Для указанных отображений установлена также возможность их продолжения в изолированные точки границы области. В качестве приложений получены некоторые результаты о локальном поведении классов Соболева и Орлича--Соболева. Изучены относительно-периодические решения одного из предельных случаев плоской ограниченной задачи трех тел - задачи Хилла из теории движения Луны. Это - неинтегрируемая гамильтонова система с 2 степенями свободы, описывающая предельное движение Луны вокруг Земли (во вращающейся системе координат вместе с Землей) с учетом влияния Солнца на движение Луны, когда масса Солнца и расстояние от Земли до Солнца стремятся к бесконечности согласованным образом. Изучены динамические свойства периодического решения Хилла задачи Хилла. В частности, получены оценки для отклонений следа и перицентра решения Хилла от следа и "перицентра" соответствующего кругового решения задачи Кеплера (не учитывающей влияние Солнца на движение Луны). Также изучены относительно-периодические решения частного случая задачи N тел типа ``планетной системы с двойными планетами'' - когда одно тело (``Солнце'') имеет массу 1, массы ``планет'' много меньше 1, и некоторые планеты объединены в пары (двойные планеты). Доказано существование 2^{N-3} гладких 2-параметрических семейств относительно-периодических движений планетных систем с двойными планетами (c заданными средними периодами обращения), при которых расстояния от Солнца до планет много больше, чем взаимное расстояние каждой двойной планеты, и ``годы'' много дольше ``месяцев''. Получено достаточное условие для орбитальной устойчивости в линейном приближении некоторых из этих решений. Изучались минимальные основные деревья на бесконечных подмножествах метрических пространств. Получен критерий минимальности основного дерева конечной длины. Также получено достаточное условие существования минимального основного дерева. Изучена связь между отношением Штейнера тотального пространства и базы разветвленного накрытия. Как следствие, показано, что отношение Штейнера равногоранных тетраэдров равно отношению Штейнера на плоскости. Исследована эволюция магнитного поля в проводящей жидкости со скачком поля скоростей. Изучены асимптотические решения задачи Коши для строго гиперболических по Петровскому систем с локализованными начальными условиями. Исследованы формальные решения нелинейных уравнений МГД со скачком на движущейся поверхности. Вычислены грубые кривизны на взвешенном дереве. Показано, что по матрице кривизн Риччи топология бинарного дерева восстанавливается однозначно. Найдены новые лакуны возможного числа реберных покрытий двудольных графов или, что эквивалентно, кратчайших с фиксированными концами в пространстве компактов конечномерного евклидового пространства.