ИСТИНА

Теория матриц, являющаяся в настоящий момент быстро и активно развивающейся областью математики, интересна не только сама по себе, но и своими глубинными связями с другими науками. Методы и результаты теории матриц постоянно используются в оптимизации, теории конечных автоматов, теории управления, динамических системах, теории расписаний и во многих других областях. Наоборот, для доказательства чисто матричных результатов зачастую приходится привлекать глубокие теоремы и методы абстрактной алгебры, теории графов и других наук. В этой работе мы предполагаем развить комбинаторные и алгебраические методы для решения некоторых известных проблем теории матриц, а именно, рассмотреть проблему Маркуса-Оливейры и задачи вычисления численного и С-детерминантного образов матрицы, найти границы Гибсона конвертируемости перманента в определитель для вполне неразложимых матриц, исследовать графы коммутирования матричной алгебры и ее подалгебр для матриц над полями и некоторыми классами коммутативных полуколец, в частности над макс-алгебрами, исследовать централизаторы подпространств и элементов полукольца матриц, в частности, решить проблему второго централизатора для макс-алгебр. Помимо решения чисто матричных задач, развитые методы предполагается транслировать на некоторые приложения теории матриц, а именно решить ряд вопросов, связанных с анализом данных, коммуникационной сложностью, криптографией, и применить полученные результаты в генетике и теории расписаний.

Ожидается глобальное и крайне важное расширение теоретических знаний по теории матриц: развитие новых методов решения задач и решение ряда открытых проблем, открытие новых путей применения найденных явлений и закономерностей, их теоретическое обоснование. В частности, будут установлены новые связи между различными свойствами матриц, решены известные проблемы и разработаны новые подходы к решению задач линейной алгебры и ее приложений. Ожидается глобальное и крайне важное расширение теоретических знаний по теории матриц: развитие новых методов решения задач и решение ряда открытых проблем. В частности, будут установлены новые связи между различными свойствами матриц, решены известные проблемы и разработаны новые подходы к решению задач линейной алгебры и ее приложений. Будут получены новые научные данные о существующих в исследуемой области закономерностях. Высокая научная значимость ожидаемых результатов определяется наличием ряда абстрактных проблем, прогресс в изучении которых определил бы как критический сдвиг в понимании теории, так и значительные продвижения актуальных прикладных проблем в численных методах, коммуникационной сложности, криптографии, математической статистике, генетике, теории передачи данных и других областях науки, требующих работы с большими объемами структурированных данных. Ожидаемые результаты существенно расширят имеющиеся теоретические знания о свойствах матриц над полями, в частности, свойствах коммутативности, свойствах числового и детерминантного образов матриц, монотонных отображениях пространств операторов, ранге матриц и решении уравнений над полукольцами. Эти результаты гарантируют открытие путей применения полученных знаний в других областях алгебры, численных методах, коммуникационной сложности, генетике, математической статистике и многих других. Среди прочих, планируется получить следующие результаты: I. Изучение графов коммутативности, антикоммутативности, q-коммутативности и делителей нуля различных матричных алгебр и связь комбинаторных свойств графа со свойствами множеств, матрицы над которыми рассматриваются для 1. полной матричной алгебры, 2. алгебры треугольных матриц, 3. алгебры инцидентности, 4. полу-магических матриц, 5. множества всех матриц и треугольных матриц над некоторыми классами полуколец. Доказательство теоремы о том, что граф коммутативности полной матричной алгебры над полем F несвязен тогда и только тогда, когда существует простое расширение поля F, не имеющее собственных подполей, строго содержащих F. Оценка длины некоторых порождающих множеств этих алгебр. В частности, доказательство совпадения длины множества перестановочных матриц, отвечающих транспозициям, с диаметром графа соответствующего множества транспозиций и обобщение этого результата для других множеств перестановочных матриц. II. Построение семейства частичных порядков на множестве ограниченных линейных операторов на бесконечно-мерном гильбертовом пространстве и доказательство того, что введенные отношения действительно являются частичными порядками, обобщающими следующие частичные порядки на матричной алгебре: 1. *-порядок Дрэйзина, 2. левый и правый *-порядки, 3. порядок, заданный групповой обратной матрицей, 4. соответствующие перечисленным f-порядки и порядки по направлению. Характеризация монотонных относительно каждого из перечисленных порядков, определенных на алгебре операторов, отображений. Характеризация биективных отображений матриц над полями, монотонных относительно порядков по направлению. Характеризация биективных отображений матриц над полем комплексных чисел, монотонных относительно порядка, порожденного групповой обратной матрицей, как композиции подобия, гомотетии, комплексного сопряжения и транспозиции. Примеры, показывающие, что над более широкими классами полей аналогичная теорема неверна и биективные монотонные отображения могут иметь неконтролируемую структуру. III. Доказательство того, что для вполне неразложимых и симметрических вполне неразложимых матриц граница Гибсона конвертируемости перманента в определитель равняется 2n+3, что подтверждает гипотезу Брюалди. Доказательство теоремы о том, что для бесследных симметрических вполне неразложимых матриц она равняется 2n+6. Характеризация для каждого класса всех неконвертируемых матриц с пограничным числом единиц. Классификация "максимальных" конвертируемых матриц, т.е. таких, что при изменении любого 0 на 1 матрица перестает быть конвертируемой. Изучение (1,-1)-матриц, имеющих одинаковые определитель и перманент. Построение натуральных чисел в интервале (2^(n-1),n!), реализуемых в качестве значения матричных имманантов для (0,1)-матриц размера n x n и изучение распределения значений имманантов (0,1)-матриц. IV. Построение аналогов 1. алгоритма Якоби, 2. алгоритма Гаусса-Зейделя, 3. метода Крамера для решения систем линейных уравнений над макс-алгебрами и их расширениями, включающими в качестве частного случая полукольца Исхакяна-Роуэна, градуированные полукольца, симметризованные полукольца. Характеризация областей применимости каждого алгоритма и вычисление класса его сложности. Определение арктического ранга и изучение его свойств, в частности, доказательство того, что он предоставляет оценку сверху для всех остальных известных ранговых функций. Определение класса сложности его вычисления. Оценки факторизационного ранга матриц над антинегативными полукольцами через другие ранговые функции алгебраические функции от исходной матрицы. V. Построение новых примеров положительного решения гипотезы Маркуса-Оливейры. В том числе, характеризация пар матриц (A,C), для которых C-детерминантный образ А вещественен или лежит на прямой, параллельной вещественной оси. Обобщение теоремы Бебиано-Соарес на матрицы произвольного размера. VI. Приложения полученных результатов в 1. коммуникационной сложности, 2. криптографии, 3. оптимальном управлении, 4. теории расписаний, 5. генетике. Формализованное приближенное условие четырех точек над макс-алгеброй.