| 1 |
1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. |
Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов и его приложения |
| Результаты этапа: Проведен анализ возмущения спектра для случая гармонического осциллятора, возникающего добавлением ограниченного измеримого слагаемого. Отсутствие условий гладкости и убывания возмущения вносит новизну в рассматриваемый класс задач. Проведено исследование спектральных задач, связанных с р-адическими полями, которое опирается на аналог формулы Фейнмана-Каца для локального поля. Установлены взаимосвязи между спектральными характеристиками дифференциальных операторов, порождѐнных некоторыми дифференциальными выражениями 4-го порядка с коэффициентами-распределениями, и соответствующих им разностных операторов. Доказан аналог теоремы С.А. Орлова об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов для операторов, порождѐнных матричными линейными квазидифференциальными выражениями второго порядка. Получены результаты о корректной разрешимости функционально-дифференциальных и интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Главной частью указанных интегродифференциальных уравнений является абстрактное линейное операторно-дифференциальное уравнение, содержащее два некоммутирующих линейных оператора, возмущенное вольтерровыми интегральными операторами. Получены результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач в пространствах Соболева для интегродифференциальных уравнений, с ядром, зависящим от параметра, а также результаты о структуре и локализации спектра указанных уравнений. Исследовано явление сильной неустойчивости в задачах для уравнений в частных производных с запаздываем по пространственным переменным. Приведены соответствующие примеры. В обратной задаче (ОЗ) для одномерного уравнения типа Гуртина-
Пипкина первого порядка с наблюдением на границе (данными обратной задачи является отображение Дирихле-Нойманн) получено явное решение в спектральной (стационарной) постановке. Доказана единственность и аналог локального соотношения единственности Борга-Марченко. Для ленточных операторов, порождѐнных бесконечными матрицами с матричными элементами, установлен критерий принадлежности произвольного комплексного числа резольвентному множеству оператора. Исследованы асимптотические свойства связанных с данными операторами конечно-разностных уравнений. Получены новые оценки экспоненциального убывания полугруппы, связанной с линейным дифференциальным уравнением второго порядка в гильбертовом пространстве двумя несамосопряженными операторами. Получена оценка экспоненциального убывания полугруппы, связанной с линейным дифференциальным уравнением второго порядка в гильбертовом пространстве, где один из операторов самосопряженный оператор. Также, получены оценки спектра квадратичного операторного пучка, ассоциированного с линейным дифференциальным уравнением. |
| 2 |
1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. |
Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов и его приложения |
| Результаты этапа: 1) Руководителем проекта Р. И. Исмагиловым получены новые результаты в спектральной теории дифференциальных операторов и теории представлений групп:
- получена формула спектрального следа для оператора, связанного с локальным полем.
- для групп диффеоморфизмов и некоторых их представлений решается задача введения функций на группе, естественным образом связанных с линейным представлением группы;
2) В. В. Власовым и Н. А. Раутиан проведен спектральный анализ интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Главной частью указанных интегродифференциальных уравнений является абстрактное линейное операторно-дифференциальное уравнение, содержащее два некоммутирующих линейных оператора, возмущенное вольтерровыми интегральными операторами. Изучаемые уравнения представляют собой абстрактную форму линейных интегродифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в теории вязкоупругости и имеющих ряд других важных приложений.
4) К. А. Мирзоевым и Т. А. Сафоновой изучены операторы, порожденные формальными матричными квазидифференциальными выражениями специального вида, при этом основной акцент делается на вопрос об индексе дефекта минимального оператора, порождённого указанным выражением, в терминах матриц-функций.
5) И. А. Ивановым решена обратная стационарная задача для систем типа Гуртина – Пипкина и получен алгоритм.
|
| 3 |
1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. |
Спектральный анализ дифференциальных и разностных операторов и его приложения |
| Результаты этапа: |
