ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ИПМех РАН |
||
Проект посвящен разработке численных методов решения обратных задач, возникающих в электрофизиологии сердца. В процессе выполнения проекта предполагается проведение исследований по следующим основным направлениям. Первое - состоит в разработке численных методов решения обратных задач для математических моделей процесса возбуждения сердца, представляющих собой начально-краевые задачи для эволюционных систем квазилинейных уравнений в частных производных в двумерных и трехмерных областях, соответствующих реальной геометрии сердца и его сечений. Будут созданы и программно реализованы численные методы определения источника возбуждения сердца по динамическим значениям потенциала на поверхности сердца, соответствующим либо инвазивным измерениям, сделанным с помощью катетеров, либо неинвазивным данным, полученным в результате решения обратной задачи электрокардиографии. В рамках этого направления будут также разработаны численные методы определения коэффициентов моделей возбуждения сердца, ориентированные на разработку методов диагностики кардиологических заболеваний. Второе направление представляет собой разработку численных методов решения обратных задач электрокардиографии, состоящих в определении потенциала электрического поля на поверхности сердца по измерениям потенциала на поверхности грудной клетки. Эти обратные задачи, являются задачами продолжения внутрь области решения эллиптического уравнения с части внешней границы, на которой заданы как решение, так и его нормальная производная. Основное внимание будет сосредоточено на создании численных методов, позволяющих для реальной трехмерной геометрии сердца и грудной клетки определять значения потенциала, как на внешней, так и на внутренней поверхности сердца и оценке влияния погрешностей в исходных данных на точность вычисления потенциала. Будет проведен анализ возможности применения разработанных методов и программного обеспечения для диагностики очагов аритмии сердца. Третье направление исследований состоит в разработке и программной реализации численных методов решения задач электроимпедансной томографии с конечным числом измерений, проводимых только на части внешней границы области. Эти задачи представляют собой обратные задачи для эллиптических уравнений с неизвестной внутренней границей, являющейся границей неоднородности кусочно-однородной двумерной или трехмерной среды. Информацией, используемой для определения неизвестной границы, является конечный набор решений эллиптического уравнения и их нормальных производных, заданных на части внешней границе области. Такие обратные задачи возникают в электрофизиологии сердца как при диагностике геометрии грудной клетки и сердца пациента, так и при квазистационарном подходе к анализу процесса возбуждения сердца. Работа будет проводиться в контакте с сотрудниками Российского научного центра хирургии имени Б.В.Петровского. Проект включает в себя постановку обратных задач, возникающих в электрофизиологии сердца, разработку численных методов решения прямых и обратных задач, программную реализацию предложенных алгоритмов и проведение вычислительных экспериментов. Проведение исследований по настоящему проекту является актуальным, а постановка ряда проблем в проекте является новой. Реализация целей проекта внесет существенный вклад в применение вычислительных методов и компьютерных технологий для исследования проблем электрофизиологии сердца и стимулирует новые направления разработки численных методов решения обратных задач. Проект соответствует приоритетным научным направлениям: живые системы; информационно-телекоммуникационные системы.
Исследована обратная задача для квазилинейной системы уравнений в частных производных с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент. Доказана единственность ее решения. Разработан численный метод решения трехмерной задачи электроимпедансной томографии для кусочно однородной среды в случае измерений на части внешней границы. Изучены двумерные обратные задачи рассеяния для уравнения акустики, состоящие в определении плотности и акустического импеданса среды. Получено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости этих задач в форме закона сохранения энергии. Изучены обратные и нелокальные задачи для эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Проведено исследование линейной обратной задачи восстановления источника, установлен критерий единственности решения, найдены достаточные условия разрешимости. Разработан итерационный метод решения интегральных уравнений первого рода для дельта-образных ядер. Разработан двухмерный метод эмпирических мод и быстрый метод сопоставления изображений, основанный на максимизации их совместной энтропии.
МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. | Численные методы решения обратных задач, возникающих в электрофизиологии сердца. |
Результаты этапа: Для двумерных математических моделей процесса возбуждения сердца разработаны и программно реализованы численные методы решения обратных задач, состоящих в определении локализованного источника возбуждения сердца по динамическим измерениям потенциала на внутренней границе области, представляющей собой сечение сердца и его желудочков горизонтальной плоскостью. Измерения потенциала на внутренней границе, соответствуют данным получаемым катетерами, введенными в желудочки. Проведен численный анализ точности определения исходного возбуждения в зависимости от расположения катетеров и точности задания исходной информации. Разработан и программно реализован численный метод решения начально-краевой задачи для системы квазилинейных эволюционных уравнений, описывающей процесс возбуждения сердца, в трехмерной области, моделирующей геометрию сердца и его желудочков. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие оценить влияние места расположения источника возбуждения и параметров модели на распространение возбуждения. Предложенный метод в дальнейшем будет использован для создания метода решения обратной задачи в соответствующей трехмерной области. Разработан и программно реализован метод численного решения обратной задачи электрокардиографии для реалистичной трехмерной геометрии торса и сердца человека, позволяющий определять потенциал электрического поля как на внешней так и на внутренней поверхности сердца, в случае, когда потенциал измеряется только на части поверхности торса. Разработан и программно реализован численный метод решения задач электроимпедансной томографии с конечным числом измерении, проводимых только на части внешней границы двумерной области, моделирующей сечение плоскостью торса и сердца человека. Проведено исследование влияния характеристик возбуждающего поля, а также точности задания исходной информации, на точность решения задачи электроимпедансной томографии. Исследована обратная задача для линеаризованной математической модели возбуждения сердца, в которой эволюция потенциала определяется начально-краевой задачей для параболического уравнения с неизвестным начальным условием. Дополнительная информация для решения обратной задачи определяется решением уравнения Пуассона с источником, вычисляемым по решению начально-краевой задачи для параболического уравнения. Разработан и программно реализован численный метод решения этой обратной задачи. Проведены вычислительные эксперименты. Исследована начально-краевая задача для квазилинейной гиперболической системы с нелокальным краевым условием, которую можно рассматривать как математическую модель процесса фильтрации в замкнутой системе, например, очистки крови. Поставлена и изучена обратная задача, состоящая в определении характеристик поглощающего вещества по результатам динамических наблюдений. | ||
2 | 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. | Численные методы решения обратных задач, возникающих в электрофизиологии сердца. |
Результаты этапа: Для модифицированной математической модели Фитц-Хью-Нагумо изучена обратная задача определения зависящего от пространственных переменных коэффициента системы уравнений в частных производных по дополнительной информации о решении начально-краевой задачи, заданной на части внутренней границы области. Эта обратная задача может быть интерпретирована как задача определения области сердца, утратившей способность к возбуждению в результате инфаркта миокарда. Измерения проводимые на части внутренней границы соответствуют измерениям, полученным катетерами, введенными в один из желудочков сердца. Разработан и программно реализован численный метод решения обратной задачи. Проведены вычислительные эксперименты, показавшие возможность достаточно точно определять положение и размер области, утратившей способность к возбуждению. В рамках математической модели Фитц-Хью-Нагумо, рассматриваемой в области, соответствующей реальной геометрии сердца, разработан и программно реализован численный метод решения обратной задачи, состоящей в определении локализованного источника возбуждения сердца. Предложена новая постановка обратной задачи электрокардиографии, позволяющая определять потенциал на поверхности, ограничивающей выделенную область сердца, по измерениям проводимым только на части торса. Разработан и программно реализован численный метод решения решения этой обратной задачи электрокардиографии применимый для реальной трехмерной геометрии торса и сердца человека, в случае, когда измерения потенциала проводятся только на части торса человека. Проведены расчеты, показавшие возможность достаточно точной локализации источника возбуждения. Разработан численный метод решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в трехмерной области с кусочно постоянной проводимостью, ориентированный на его использование при решении обратной задачи электрокардиографии. Предложен, разработан и программно реализован численный метод решения трехмерных задач электроимпедансной томографии с конечным числом измерении, проводимых на части внешней границы трехмерной области, моделирующей торс человека. Проведено численное исследование точности решения задачи электроимпедансной томографии в зависимости от характеристик возбуждающего поля, а также точности задания исходной информации. Все цели проекта, объявленные на 2015 год, реализованы. Дополнительно исследована обратная коэффициентная задача для квазилинейной системы уравнений в частных производных с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент, которую можно рассматривать как математическую модель фильтрационной системы с обратной связью, используемой при очистке крови. Разработан численный метод определения неизвестного коэффициента. | ||
3 | 1 декабря 2016 г.-31 декабря 2016 г. | Численные методы решения обратных задач, возникающих в электрофизиологии сердца. |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".