ИСТИНА

Проект посвящен: - изучению актуальных вопросов геометрической теории приближений и их приложений в теории функций, нелинейном анализе, теории поперечников и дифференциальных уравнениях; - исследованию структурных свойств чебышевских множеств и солнц; - исследованию колмогоровских поперечников различных функциональных классов; - вычислению поперечников конечномерных шаров относительно смешанной нормы; - получению теорем вложения; - приложениям теории обучения; - исследованию геометрических вопросов нелинейного анализа и теории функций; - вопросам аппроксимации при помощи жадных алгоритмов; - применение классического аппарата теории приближения и методов, разработанных в~рамках проекта, для решения актуальных естественнонаучных задач. Помимо фундаментальной значимости полученные результаты будут иметь приложения в вычислительной математике, нелинейном анализе и теории обучения.

На этапе 2015 г. получены следующие результаты. Для устойчивых многозначныхотображений $F:X\rightarrowY$ банахова пространства $X$, образы которых ограниченно бесконечно связные замкнутые множества в некотором банаховом пространстве $Y$, установлено существование аддитивной (мультипликативной) $\epsilon$-выборки $\phi:X\times Y\rightarrowY$ (для всех положительных $\epsilon$) на множество $F(x)$ в пространстве $Y$, непрерывной на пространстве $X\times Y$. Получены порядковые оценки энтропийных чисел оператора вложения весового класса Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона. Аналогичные результаты получены для весовых операторов суммирования и интегрирования на деревьях. Установлено, что, если изображение отличается от функции из n-мерного линейного подпространства, удовлетворяющего неравенству Никольского, на множестве меры меньшей, чем $cn^{-1}$, то жадный алгоритм выбора подмножества сходится с экспоненциальный скоростью. Получена оценка скорости сходимости жадного алгоритма выбора подмножества в случае, если изображение на множестве большой меры близко (в норме C) к функции из шара пространства Соболева $W^1_\infty$. Найдены точные оценки минимального собственного значения на различных классах потенциалов в задаче Штурма--Лиувилля на полуоси с граничным условием в нуле. Неравенство Сёге распространено на более широкий класс метрик, включающих в себя метрики $L_p$ при $p\in [0;+\infty]$. Установлено, что аппроксимативно компактное $\operatorname{m}$-связное (связное по Менгеру) подмножество банахова пространства является $\delta$-солнцем. Показано, что в широком классе конечномерных банаховых пространств $X_n$ (в частности, во всех пространствах размерности $n\le 3$) множество существования с полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем. Данный результат частично обобщает известный результат Царькова, согласно которому множество существования в~$X_n$ с полунепрерывной снизу метрической проекцией является $B$-ацикличным солнцем. Дополнительно устанавливается, что в некотором классе пространств строгое солнце(замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией) является $B$-ретрактом, т.е. обладает свойством ретракции при пересечении с замкнутыми шарами. Установлен следующий результат: Пусть $X$~-- линейное нормированное или несимметрично нормированное пространство размерности~$2$ или~$3$ и пусть $M\subset X$~-- строгое солнце. Тогда $M$\enskip $B$-стягиваемо и на него для любого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная аддитивная (мультипликативная) $\varepsilon$-выборка.