ИСТИНА

Как внутреннее развитие топологии, так и спрос на ее применение в других разделах математики потребовало построения теории топологических пространств за пределами метризуемых пространств и многообразий. Возникает необходимость в построении сложных примеров, создании новых методов исследований, использующих, в том числе, и дополнительные алгебраические структуры на топологических пространствах. Построение компактификаций тихоновских пространств и рассмотрение их наростов, в качестве новых пространств, - один из наименее исследованных способов построения примеров нового типа в топологии. Наделение объекта с алгебраической структурой (в частности, группы) топологией, согласованной с этой структурой, становится мощным исследовательским инструментом в изучении как алгебраических, так и топологических свойств данного объекта. Например, в современной теории динамических систем широко используются методы топологической теории групп преобразований.

Both the intrinsic development of topology and its applications in other domains of mathematics have required constructing the theory of topological spaces beyond the scope of metrizable spaces and manifolds. There arises the need for constructing complicated examples and developing new methods, which use, in particular, additional algebraic structures on topological spaces. The construction of compactifications of Tychonoff spaces and considering their remainders as new spaces is one of the least studied methods for constructing examples of new type in topology. Endowing an object with an algebraic (in particular, group) structure consistent with this structure becomes a powerful research tool for studying both algebraic and topological properties of the object. For example, in the modern theory of dynamical systems, methods of the topological theory of transformation groups are widely applied.

Ожидаемые результаты улучшат наше понимание сходимости последовательностей в топологических пространствах, пополнят знания о структуре компактов Эберлейна и Корсона, дадут новое понимание топологии функциональных пространствах, алгебраических структур и однородных компактов. Мы ожидаем, что они повлияют на дальнейшие исследования топологии функциональных пространствах, теории компактов Эберлейна и Корсона, и на рассммотрении пространств, которые можно получить используя конечные наборы метризуемых пространств и некоторые простые операции над ними. Это может быть особенно полезно, поскольку многие примеры топологических пространств имеют такой вид. Получение характеризации наростов метризуемых пространств. Получение условий вложения пространств с sigma-дизъюнктной базой в компакты Эберлейна (в sigma- произведения некоторых семейств копий отрезка I). Установить будет ли пространство, являющееся объединением двух плотных метризуемых подпространств полным по Дьедонне. Установление связей между топологическими свойствами G-простанств, их эквивариантными компактификациями и наростами их эквивариантных компактификаций. Построение примера пространства X с sigma-дизъюнктной базой и его нароста Y таких, что Y не может быть наростом никакого метризуемого пространства. Обобщение теоремы Эффроса на не сепарабельный случай. Классификация форм однородности компактов и их групп преобразований. Доказательство несуществования в ZFC счетных топологических групп с заданными экстремальными свойствами, в частности, максимальных топологических групп, в которых все дискретные множества замкнуты, экстремально несвязных групп, содержащих «много» (в некотором смысле) открытых подгрупп и т.п. Доказательство существования групп, не допускающих топологию, относительно которой умножение непрерывно в единице. Установить существование наследственно сепарабельных и наследственно линделефовых пространств в функциональных пространствах. Установить разрешимость уравнений типа xy=x+y в полугруппах ульлтрафильтров.

Вопрос характеризации наростов метризуемых пространств мотивируется тем, что метризуемость является одним из наиболее важных топологических инвариантов, и, в частности, тем, что класс метризуемых пространств связан со многими другими важными классами топологических пространств. Некоторые частные результаты в этом направлении были получены А.В.Архангельским [2011, 2013] и опубликованы в Fundamenta Mathematicae. Из одной из ранних теорем Архангельского следует, что каждое метризуемое пространство топологически вкладывается в компакта счетной тесноты. К.Л.Козлов решал задачи о свойствах пространств с действием подгрупп произведения полных по Чеху групп [2010], [2013]; об условиях алгебраической однородности G-пространств [2013]; о редукции действий [2013]; о роли структуры произведения G x X в продолжении действий [2012]. Им построена теория d-открытых действий. К.Л.Козлов получил спектральные представления пространств с d-открытым действием, порожденным спектральными представлениями действующих групп [2013]. Им установлена открыто порожденность компакта с d-открытым действием подгруппы произведения полных по Чеху групп. Установлено, что любое сепарабельное метризуемое SLH-пространство обладает польским SLH-пополнением, которое реализуется согласовано с пополнением действующей группы (К.Л.Козлов [2013]). К.Л.Козлов доказал, что любой однородный CDH-компакт является единственной G-компактификацией пространства рациональных чисел с транзитивным действием некоторой польской группы [2013]. О.В. Сипачева доказала, что свободная топологическая группа не может быть экстремально несвязной. Она исследовала топологии Маркова и Зарисского на группах и моноидах, условия их совпадения, а также условия, при которых эти топологии являются отделимыми групповыми топологиями. Е.А. Резниченко доказал, что совместимо с ZFC считать что в пространствах функций над компактами понятия наследственной сепарабельности и линделефовости совпадают [2007].

Исследованы наросты компактных расширений топологических пространств и групп. Установлено, что число гомеоморфизмов наростов счетного плотного в себе пространства не более континуума. Доказано: если некоторый нарост предкомпактной топологической группы со счётной сетью нормален, то эта группа метризуема; если хотя бы один нарост пространства Cp(X) (непрерывных вещественных функций на пространстве Х в топологии поточечной сходимости) нормален, то пространство Х счётно. Уточнена теорема о дихотомии для топологических групп. Для произвольной топологической группы G выполняется хотя бы одна из следующих альтернатив: (1) каждый нарост группы G линделёфов; (2) каждый нарост группы G счётно компактен; (3) каждый нарост группы G не нормален. Получена теорема о дихотомии для факторпространств топологических групп по компактным подгруппам. Нарост любой компактификации такого факторпространства или псевдокомпактен, или метрически-дружелюбен. Доказано, что никакой нарост локально полного по Чеху, не полного по Чеху пространства не однороден. Если все точки нароста локально полного по Чеху пространства типа G_\delta, то мощность нароста не более континуума. Установлена сепарабельность и метризуемость топологической группы, некоторый нарост которой совершенен. Доказано существование сепарабельной метризуемой топологической группы, никакой нарост которой не однороден. Аналогичный результат получен также для случаев счётной и счётно компактной групп. Исследованы группы, обладающие наростом счетного характера. Установлено, что мощность базы в единице не локально компактной топологической группы не превосходит мощности omega_1, если в точках ее нароста выполняется первая аксиома счётности. В предположении континуум-гипотезы, показано, что свободная топологическая группа нетривиальной сходящейся последовательности имеет компактное хаусдорфово расширение, нарост которого во всех точках удовлетворяет первой аксиоме счётности. Доказана полнота по Райкову сепарабельной неметризуемой топологической группы, некоторый нарост которой удовлетворяет первой аксиоме счётности. Также исследованы общие факторпространства топологических групп. В частности, доказано, что алгебраически однородное пространство является факторпространством omega-узкой топологической группы в том и только том случае, если на нем существует разделяющее семейство эквивариантных отображений в сепарабельные метризуемые G-пространства; установлено, что факторпространство топологической группы, факторизуемой относительно польских групп, является G-пространством, факторизуемым относительно польских G-пространств. Доказано, что для любого бесконечного кардинала tau существование нульмерного tau-монолитного компакта тесноты tau, у которого число Линделефа пространства непрерывных вещественнозначных функций в топологии поточечной сходимости больше tau, эквивалентно существованию tau^+-дерева Ароншайна. Доказано, что любое вещественно полное пространство является ретрактом однородного вещественно полного пространства. Предложена конструкция замены действующей на пространстве группы с сохранением транзитивности, (d-)открытости действия, сохранения фиксированной эквиравномерности. Доказано, что компактное факторпространство подгруппы произведения полных по Чеху групп с 1 аксиомой счетности метризуемо, факторпространство omega-уравновешенной группы с 1 аксиомой счетности метризуемо. Если на пространстве со свойством Бэра и с 1 аксиомой счетности транзитивно действует omega-узкая группа, то пространство сепарабельное метризуемое. Введено понятие R-факторизуемого G-пространства. Построены спектральные представления R-факторизуемых G-пространств. Дана характеризация R-факторизуемых G-пространств, установлено, что компактные факторпространства R-факторизуемы в том и только том случае, если они могут быть факторпространствами omega-узких групп. Рассмотрена R-факторизуемостость G-пространств в категории G-Tych. Доказано, что R-факторизуемое G-пространство с транзитивным действием, фазовое пространство которого обладает свойством Бэра, является R-факторизуем в категории G-Tych. Показана эквивалентность R-факторизуемости C-вложенной всюду плотной подгруппы H группы G и R-факторизуемости в категории G-Tych G-пространства (H; G; alpha), где alpha — естественное действие подгруппы на группе. Показано, что пополнения по Райкову и по Дьедонне R-факторизуемой группы являются R-факторизуемыми в категории G-Tych G-пространствами. Доказано сохранение R-факторизуемости в категории G-Tych при переходе к G-компактификации. Введено понятие факторпространства G-тихоновского пространства. Устанавлена его универсальность. Построены два однородных счетно компактных пространства, произведение которых не псевдокомпактно. Получены новые результаты по однородности подмножеств экстремально несвязных пространств и их произведений. Доказано, что любое однородное компактное подпространство конечного произведения экстремально несвязных пространств конечно. Для первой степени это классический результат Фролика 1967 года. Кроме того, доказано, что любое компакт в однородном подпространстве третьей степени экстремально несвязного пространства конечен. В предположении континуум гипотезы последний результат распространяется на все конечные степени: любой компакт в однородном подпространстве конечной степени экстремально несвязных пространств конечен. Решена проблема о существовании в ZFC счетной недискретной экстремально несвязной топологической группы. Доказано, что из существования счетной (и даже сепарабельной) недискретной экстремально несвязной группы вытекает существование быстрого фильтра и, следовательно, такие группы не существуют в некоторых моделях ZFC. Доказано, что любая счетная недискретная топологическая группа, фильтр окрестностей единицы в которой не является быстрым, содержит дискретное подмножество с единственной неизолированной точкой. Таким образом, существует модель ZFC, в которой любая недискретная счетная топологическая группа содержит незамкнутое дискретное подмножество с единственной предельной точкой. Доказано, что в любом счетномерном топологическом векторном пространстве над конечным полем есть дискретный базис, имеющий не более одной предельной точки. Введен и исследован новый класс больших множеств в группах, а именно, класс жирных множеств. Подробно изучены связи между этим классом и классическими классами больших множеств, известных из топологической динамики (толстых, синдетических, кусочно синдетических множеств и пр.). В ходе исследований удалось также прояснить связь классических больших множеств друг с другом и с групповыми топологиями на группах, в частности, боровской топологией. Кроме того, была выявлена также тесная связь между большими множествами и ультрафильтрами.