ИСТИНА

Научно-исследовательская работа направлена на исследование орбит, инвариантов и факторов алгебраических групп преобразований с использованием методов эквивариантной симплектической геометрии и применениями к теории представлений. Она включает в себя изучение действий малой сложности редуктивных алгебраических групп, в том числе классификацию и изучение сферических подгрупп. Разрабатываются новые приложения теории сферических действий к задачам теории представлений. В рамках проекта исследуется комбинаторика действий торов и ее применение к вычислению колец Кокса аффинных многообразий и к геометрической теории инвариантов. Работа включает в себя описание компактных линейных групп, для которых факторпространство является гладким многообразием.

Для гамильтонова действия редуктивной группы на симплектическом алгебраическом многообразии с инвариантным лагранжевым подмногообразием вычислены сложность и ранг действия группы на этом подмногообразии и, в случае аффинного многообразия, доказана равноразмерность слоёв отображения моментов в коразмерности 1. Установлено соответствие между различными известными наборами инвариантов разрешимых сферических подгрупп в полупростых алгебраических группах. Изучено поведение этих инвариантов при локализациях соответствующих однородных пространств. Доказано, что все неприводимые компоненты схемы Алексеева-Бриона, параметризующей аффинные сферические многообразия с заданной полугруппой старших весов, суть аффинные пространства. Найдены все редуктивные линейные группы, действующие сферично на многообразиях флагов. Доказано, что алгебра унипотентных инвариантов кольца Кокса любого двойного многообразия флагов сложности не более 1 простой алгебраической группы свободна или её образующие связаны единственным соотношением, что позволяет эффективно разлагать на неприводимые слагаемые тензорные произведения некоторых неприводимых представлений. Для нормальных аффинных конусов над многообразиями флагов и невырожденных аффинных торических многообразий размерности >1 доказано, что группа автоморфизмов действует на множестве их гладких точек бесконечно транзитивно. Доказано, что если группа специальных автоморфизмов аффинного многообразия размерности >1 транзитивна на множестве гладких точек, то она бесконечно транзитивна на этом множестве. Доказана бесконечная транзитивность группы автоморфизмов универсального торсора для широкого класса гладких алгебраических многообразий. Описаны орбиты групп автоморфизмов аффинных торических многообразий. Исследованы действия аддитивной группы поля на торических многообразиях в терминах корней Демазюра. Явно вычислены комбинаторные данные невырожденных аффинных квадрик с действием тора сложности один. Классифицированы эквивариантные пополнения коммутативных алгебраических групп коранга один. Доказано, что каждое такое пополнение является торическим многообразием с действием аддитивной группы поля. Получен признак гибкости аффинного конуса над проективным многообразием и доказана гибкость аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо степеней 4 и 5. Разработан эффективный алгоритм определения примыканий нильпотентных орбит тэта-групп, ассоциированных с Z- или Z/mZ-градуировками полупростых алгебр Ли. Развита теория циклических элементов в полупростых алгебрах Ли, обобщающая результаты Б. Костанта и Т. Спрингера. Классифицированы неприводимые представления классических простых компактных групп Ли с факторпространством, гомеоморфным клетке. Получено описание открытых подмножеств пространств представлений колчанов, допускающих хорошие факторы, являющиеся А2-многообразиями. Изучены вырождения представлений из указанных открытых подмножеств.