|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
Исследование актуальных вопросов теории нелинейных уравнений в частных производныхНИР
Investigation of topical problems in the theory of nonlinear partial differential equations
- Руководитель НИР: Аристов А.И.
- Ответственный исполнитель: Холомеева А.А.
- Подразделение: Кафедра общей математики
- Срок исполнения: 1 марта 2018 г. - 1 декабря 2019 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): 14.W01.18.1829-МК
- Номер ЦИТИС: АААА-А18-118012990223-8
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Программное и математическое обеспечение эффективного решения актуальных задач на современных вычислительных системах
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.31.21 Нелинейные уравнения и системы уравнений
-
Ключевые слова:
нелинейные уравнения в частных производных, асимптотика решения, разрушение решения, качественные свойства решений, уравнения соболевского типа
the sobolev type equations, the qualitative properties of solutions, the asymptotics of the solution, nonlinear partial differential equations, the decay of the solution -
Описание:
С середины XX века исследователи стали уделять значительное внимание уравнениям соболевского типа. Одной из первых работ по этой тематике стала статья С.Л. Соболева 1954 года, в которой выведено и исследовано уравнение, описывающее гидродинамический процесс. В нем дифференцирование по времени применялось к лапласиану от неизвестной функции. (С. Л. Соболев. Об одной новой задаче математической физики. Изв. АН СССР. Серия математическая. Т. 18, вып. 1, с. 3-50.) Затем было опубликовано много работ об уравнениях соболевского типа, в которых изучались вопросы их разрешимости глобально и локально по времени, асимптотического поведения решений. Значительный вклад в развитие этой области внесли И.А. Шишмарев и М.О. Корпусов. Однако, остается много актуальных нерешенных задач для уравнений соболевского типа: эти уравнения моделируют важные процессы в гидродинамике и в физике полупроводников. Кроме того, отметим, что обширная литература посвящена точным решениям нелинейных уравнений в частных производных. Однако, в этой литературе мало внимания уделено уравнениям соболевского типа. Основное содержание данной работы состоит в следующем. Во-первых, в выявлении достаточных условий для разных видов качественного поведения решений задач для некоторых нелинейных уравнений в частных производных (в частности, соболевского типа), а именно, для мгновенного разрушения, локальной и глобальной разрешимости. Во-вторых, в построении классов точных решений для некоторых нелинейных уравнений в частных производных (в частности, соболевского типа), в анализе их качественного поведения.
-
Планируемые результаты:
Во-первых, будут построены в аналитическом виде точные решения нелинейных уравнений в частных производных (в том числе, соболевского типа), проанализировано их качественное поведение. Под аналитическим видом подразумеваются явные, неявные и квадратурные формулы, содержащие элементарные, специальные и, возможно, произвольные гладкие функции. Во-вторых, будут получены результаты, касающиеся разрешимости задач для нелинейных уравнений в частных производных (в том числе, соболевского типа), а именно, достаточные условия для определенного качественного поведения решения (мгновенного разрушения, разрушения за конечное время, глобального по времени существования). Результаты будут оформлены в виде статей и представлены для публикации в научные издания. Планируются выступления с докладами на научных конференциях, в том числе, международных. Некоторые результаты планируется включить в спецкурс для студентов факультета ВМК МГУ.
-
Научный задел:
В кандидатской диссертации Аристова А.И. были получены следующие результаты 1. Впервые исследованы задачи Коши для некоторых нелинейных соболевских уравнений. Построены асимптотики их решений при больших временах. 2. Впервые исследованы начально-краевые задачи для ряда нелинейных соболевских уравнений, в частности, нелокальных по времени. Установлены достаточные условия для их глобальной и локальной по времени разрешимости. Для случая только локальной разрешимости построены верхние инижние оценки времени существования решения в виде явных, неявных и квадратурных формул.
- Добавил в систему: Холомеева Анна Андреевна
Соисполнители НИР
| МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
Источник финансирования НИР
| грант Президента РФ |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 1 марта 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Исследование актуальных вопросов теории нелинейных уравнений в частных производных-1 |
| Результаты этапа: Получены следующие результаты. Рассмотрено два нелинейных соболевских уравнения третьего порядка и одно уравнение четвертого порядка, а также одно неклассическое нелинейное уравнение в частных производных второго порядка. Для этих уравнений построен ряд семейств точных решений, выражающихся через элементарные и специальные функции. Для названных уравнений второго и третьего порядка точные решения исследованы впервые, а для уравнения четвертого порядка автор усилил свои результаты, полученные ранее. Работы выполнены при поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук МК-1829.2018.1. По темам проведенных исследований опубликованы следующие статьи. 1. Аристов А.И. О точных решениях одного нелинейного уравнения в частных производных второго порядка. Дифференциальные уравнения. Т. 54. № 9. С. 1167-1175. 2. Aristov A.I. On Exact Solutions of the Oskolkov-Benjamin-Bona-Mahony-Burgers Equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics. Т. 58. № 11. С. 1792-1803. 3. Aristov A.I. Exact Solutions of a Second-Order Nonlinear Partial Differential Equation. Differential Equations. Т. 54. № 9. P. 1137-1146. По темам проведенных исследований сделаны следующие доклады на конференциях. 1. Аристов А.И. Об одном неклассическом нелинейном уравнении в частных производных. Ломоносовские чтения-2018, секция "Вычислительная математика и кибернетика", МГУ имени М.В. Ломоносова, Россия, 16-27 апреля 2018. 2. Аристов А.И. О точных решениях одного неклассического нелинейного уравнения четвертого порядка. Международная конференция "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXIX", посвященная 90-летию В.А.Ильина, МГУ им. М.В. Ломоносова, факультет Вычислительной математики и Кибернетики, Россия, 2-6 мая 2018. 3. Аристов А.И. Об одном неклассическом нелинейном уравнении в частных производных. 6th International Conference on Nonlinear Analysis and Extremal Problems, Иркутск, Россия, 25-30 июня 2018. 4. Аристов А.И., Холомеева А.А. On Some Families of Solutions of One Nonlinear Partial Differential Equation International Conference on Mathematics: An Istanbul Meeting for World Mathematicians, Стамбул, Турция, 3-6 июля 2018. | ||
| 2 | 1 января 2019 г.-1 декабря 2019 г. | Исследование актуальных вопросов теории нелинейных уравнений в частных производных-2 |
| Результаты этапа: Получены следующие результаты. Рассмотрены нелинейные соболевские уравнения третьего и четвертого порядка. Для этих уравнений построен ряд семейств точных решений, выражающихся через элементарные и специальные функции. Работы выполнены при поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук МК-1829.2018.1. По темам проведенных исследований опубликованы следующие статьи. 1. Аристов А.И. Точные решения неклассического уравнения с нелинейностью под знаком лапласиана. Дифференциальные уравнения. Т. 55. № 10. С. 1-11. 2. Аристов А.И. О точных решениях одного нелинейного соболевского уравнения. Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2019 г. №4, с. 12-21. 3. Аристов А.И. О точных решениях одного неклассического нелинейного уравнения четвертого порядка. Математические заметки, том 105, №4, с.507-518. 4. Aristov A.I. Exact Solutions to One Nonlinear Sobolev Equation. Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics, том 43, №4, с. 156-165. 5. Aristov A.I. Exact Solutions of a Nonclassical Nonlinear Equation of the Fourth order. Mathematical Notes, том 105, №4, с. 503-512. 6. Aristov A.I. Exact Solutions of Three Nonclassical Equations, and Their Construction with Maple System. Lobachevskii Journal of Mathematics, том 40, №7, с. 851-860. По темам проведенных исследований сделаны следующие доклады на конференциях. 1. Аристов А.И. Точные решения соболевского уравнения с нелинейностью под знаком лапласиана. «Ломоносовские чтения - 2019». Секция «ВМК», Москва, МГУ, Россия, 15-25 апреля 2019. 2. Аристов А.И., Холомеева А.А. Exact solutions of a nonlinear equation from the theory of nonstationary processes in semiconductors. 12th International ISAAC Congress, г. Авейру, Португалия, 29 июля - 2 августа 2019. 3. Аристов А.И. О точных решениях одного неклассического уравнения в частных производных. Математика в приложениях. Международная конференция в честь 90-летия Сергея Константиновича Годунова (4-10 августа 2019, Новосибирск), Новосибирск, Россия, 4-10 августа 2019 | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".