|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
Анизотропия в линейной микрополярной теории упругоститезисы доклада
- Автор: Никабадзе М.У.
- Сборник: НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ "ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ 2012"
- Серия: Механика
- Тезисы
- Год издания: 2012
- Место издания: МГУ им. М.В. Ломоносова
- Аннотация: В линейной микрополярной теории упругости (МТУ) анизотропных тел (ЛМТУАТ), не обладающих центром симметрии (ОЦС) в смысле упругих свойств (СУС), введены тензорные столбцы (ТС) тензоров напряжений и моментных напряжений и тензоров деформаций и изгиба-кручения. Введена также тензорно-блочная матрица тензоров модулей упругости (ТБМТМУ), состоящая из четырех тензоров четвертого ранга. Даны представления упругой энергии деформации (УЭД) и определяющих соотношений (ОС) с помощью введенных ТС и ТБМТМУ. Приведено определение положительно-определенной тензорно-блочной матрицы (ТБМ) и доказана положительная определенность ТБМТМУ. Введены понятия собственного значения и собственного тензорного столбца (СТС) ТБМ и рассмотрена задача на собственные значения ТБМ. Характеристическое уравнение (ХУ) ТБМТМУ имеет 18-ю степень, которое в силу положительной определенности ТБМТМУ имеет 18 положительных корней, считая каждый корень столько раз, какова его кратность. Следовательно, каждому собственному значению соответствует СТС. При этом кратному корню соответствует столько линейно независимых СТС, какова его кратность. Эту систему всегда можно ортонормировать. СТС симметричной ТБМ, соответствующие попарно различным собственным значениям, попарно ортогональны. Так как СТС всегда можно нормировать, то в силу сказанного выше полная ортонормированная система собственных тензоров-столбцов (ПОССТС) ТБМТМУ состоит из 18 ТС. Приведено каноническое представление ТБМТМУ, на основании которого в свою очередь даны канонические записи УЭД и ОС. Введено понятие символа структуры (СС) ТБМ (в классической теории упругости (КТУ) Я. Рыхлевским введено понятие первого структурного индекса, а Н.И. Остросаблиным ввел символ, который на наш взгляд целесообразно называть СС (символом анизотропии) тензора (материала)) и дана классификация ТБМТМУ в ЛМТУАТ, не ОЦС. Все линейные анизотропные микрополярные упругие материалы, не ОЦС в СУС, разделяются на 18 классов по числу различных собственных значений, а классы в зависимости от кратностей собственных значений подразделяются еще на подклассы. Все сказанное выше в равной мере относится к ЛМТУАТ, ОЦС. В этом случае ТБМ является тензорно-блочно-диагональной матрицей и в этой связи упрощается изучение ее внутренней структуры. В частности, достаточно изучить внутреннюю структуру каждого из двух положительно определенных тензоров модулей упругости (ТМУ) в отдельности. В этом случае, в отличие от классического случая, ХУ для каждого ТМУ имеет 9-ю степень (в КТУ ХУ ТМУ имеет 6-ю степень). Доказано, что если производить классификацию множества положительно определенных симметричных тензоров четвертого ранга (ТМУ в ЛМТУАТ, ОЦС, являются таковыми), то в итоге получаются 9 основных классов по числу различных собственных значений, а классы в зависимости от кратностей собственных значений подразделяются еще на 256 подклассов (в классическом случае существуют 6 классов, которые состоят из 32 подклассов). При этом если каждому анизотропному материалу соответствуют ТМУ одинаковой структуры (тензоры имеют одинаковый СС и принадлежат одному и тому же подклассу), то число анизотропных материалов равно 256, а если ТМУ имеют одинаковый СС, а принадлежат различным подклассам, то число линейно упругих анизотропных материалов, ОЦС в СУС, равно 2562. Конечно, число анизотропных материалов, не ОЦС в СУС, намного больше, чем число анизотропных материалов, ОЦС в СУС. В явном виде построены ПОССТС ТБМТМУ с помощью 153 независимых параметров, ПОССТС тензорно-блочно-диагональной матрицы ТМУ с помощью 72 независимых параметров, и полная ортонормированная система собственных тензоров для положительно определенного симметричного ТМУ МТУ с помощью 36 независимых параметров (Н.И. Остросаблин в КТУ в явном виде построил собственные тензоры для ТМУ с помощью 15 независимых параметров).
- Добавил в систему: Никабадзе Михаил Ушангиевич