Аннотация:Статья посвящена развитию представления структуры натуральных чисел как дискретной динамической системы на базе бильярдного графа и исследованию вводимого понятия сингулярности и множества сингулярных кругов, определенном на этой основе. Это позволяет рассматривать структуру натуральных чисел с более широких позиций геометрических и топологических конструкций и установить ряд ее особенностей. Доказаны свойства множеств пар натуральных в сингулярных кругах и из них выделены множества, состоящие из гольдбаховых пар простых. Представлена общая геометрия вложений сингулярных кругов друг в друга. Предложены конструктивные методы генерации сколь угодно больших сингулярных. Показано, что число сингулярных натуральных бесконечно и сингулярные вершины играют важную роль в индуцировании автоморфизмов кластерного типа в структуре натуральных. Исследована интервальная взаимозависимость расположения простых-близнецов и составных-близнецов, что стало основанием для выдвижения гипотезы о равномощности этих множеств.