О Lip^m- и C^m-отражении гармонических функций относительно границ областей Каратеодори в R^2статья
Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science
Информация о цитировании статьи получена из
Scopus
Статья опубликована в журнале из перечня ВАК
Статья опубликована в журнале из списка Web of Science и/или Scopus
Дата последнего поиска статьи во внешних источниках: 16 января 2019 г.
Аннотация:Получен ряд точных необходимых и достаточных усло-
вий $Lip^m$- и $C^m$-непрерывности операторов гармониче-
ского отражения функций относительно границ простых
областей Каратеодори в $R^2$. Приведем упрощенную
формулировку основного результата. Для произвольной
вещественной функции $f$, гармонической в жордановой
области $D$ в $R^2$ и непрерывной в ее замыкании $CD$, пусть
$R(f)$ — решение задачи Дирихле в дополнительной области $G$
с граничной функцией $f$ на $bG=bD$, где $bD$ - граница области
$D$. Функцию $R(f)$ назовем гармоническим отражением
функции $f$ относительно границы $bD$ области $D$,
а оператор $R : f \to R(f)$ — оператором гармонического
отражения. Пусть теперь $D$ — область с кусочно гладкой
границей, и $\pi v$ — минимальный внутренний
угол области $D$ (т.е. $\pi v$ — минимум величин всех внутренних
углов $\pi v_a$ , $a \in bD$, образованных двумя разными
лучами с вершиной $a$, касательными к $bD$). Примем
$m_D = 1/(2-v)$. Тогда при всех (m,m') с условиями
$0 < m' \leq m < m_D$ или $0 < m'< m_D \leq m \leq 1$ оператор $R$
является $(Lip^m(CD), Lip^m'(CG))$-непрерывным, и это не так при
$m_D < m' \leq m \leq 1$.