Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полейстатья
Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science
Статья опубликована в журнале из перечня ВАК
Статья опубликована в журнале из списка Web of Science и/или Scopus
Дата последнего поиска статьи во внешних источниках: 28 февраля 2020 г.
Аннотация:Периодичность и квазипериодичность функциональных непрерывных дробей в
гиперэллиптическом поле $L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ имеет более сложную природу,
чем периодичность числовых непрерывных дробей элементов квадратичных полей.
Известно, что периодичность непрерывной дроби элемента $\sqrt{f}/h^{g+1}$,
построенной по нормированию, связанному с многочленом $h$ первой степени,
эквивалентна наличию нетривиальных $S$-единиц в поле $L$ рода $g$ и эквивалентна наличию
нетривиального кручения в группе классов дивизоров.
В данной статье найден точный промежуток значений $s \in \mathbb{Z}$ таких, что
элементы $\sqrt{f}/h^s$ имеют периодическое разложение в непрерывную дробь,
где $f \in \mathbb{Q}[x]$ --- свободный от квадратов многочлен четной степени.
Для многочленов $f$ нечетной степени проблема периодичности
непрерывных дробей элементов вида $\sqrt{f}/h^s$ рассмотрена в статье \cite{PlatFed2018},
причем там доказано, что длина квазипериода не превосходит
степени фундаментальной $S$-единицы поля $L$.
Проблема периодичности непрерывных дробей элементов вида $\sqrt{f}/h^s$
для многочленов $f$ четной степени является более сложной.
Это подчеркивается найденным нами примером многочлена $f$ степени 4,
для которого соответствующие непрерывные дроби имеют аномально большую длину периода.
Ранее в статье \cite{PlatFed2018} также были найдены примеры непрерывных дробей
элементов гиперэллиптического поля $L$ с длиной квазипериода значительно превосходившей
степень фундаментальной $S$-единицы поля $L$.