Аннотация:Известно, что сумма ряда по синусам $g(\mathbf b,x)=\sum_{k=1}^\infty b_k\sin kx$, коэффициенты которого образуют выпуклую последовательность $\mathbf b$, положительна на интервале $(0,\pi)$. Для оценки ее значений в окрестности нуля C.\,А.~Теляковский использовал кусочно"=непрерывную функцию $\sigma(\mathbf b,x)=\bigl(1/m(x)\bigr)\sum_{k=1}^{m(x)-1}k^2(b_k-b_{k+1})$, $m(x)=[\pi/x]$. Он показал, что в некоторой окрестности нуля разность $g(\mathbf b,x)-(b_{m(x)}/2)\ctg(x/2)$ допускает двустороннюю оценку через функцию $\sigma(\mathbf b,x)$ с абсолютными постоянными. В работе найдены точные значения этих постоянных на классе выпуклых последовательностей $\mathbf b$.