Оценки индикаторов целой функции с отрицательными корнямистатья
Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science
Статья опубликована в журнале из перечня ВАК
Статья опубликована в журнале из списка Web of Science и/или Scopus
Дата последнего поиска статьи во внешних источниках: 20 апреля 2022 г.
Аннотация:Статья является продолжением серии работ авторов, посвященной изучению связи между закономерностями роста целой функции и характером распределения ее корней. Исследуется асимптотическое поведение целой функции конечного нецелого порядка с последовательностью отрицательных корней, имеющей предписанные нижнюю и верхнюю плотности. Особое внимание уделено случаю нулевой нижней плотности корней. Даны точные оценки для индикатора и нижнего индикатора такой функции. Описаны углы на комплексной плоскости, в которых эти характеристики тождественно равны нулю. В некоторых специальных ситуациях указаны явные формулы для вычисления индикаторов. Используемые термины — обычные плотности последовательности корней — просты и наглядны в отличие от многих типичных для теории роста целых функций сложных интегральных конструкций, содержащих считающую функцию корней. Результаты применяются к известной задаче о наименьшем типе целой функции порядка ρ∈(0,+∞)∖N с корнями на луче. Эта задача достаточно полно изучена лишь в случае ρ∈(0,1). При ρ>1 не известен точный закон, выражающий наименьший возможный тип такой целой функции через плотности ее корней. Для упомянутой экстремальной величины найдена новая двусторонняя оценка, действующая на всем множестве нецелых положительных значений параметра ρ и усиливающая известные ранее оценки А.Ю.Попова (2009 г.). Сформулирована гипотеза относительно поведения экстремального типа вблизи целых значений ρ. Изложение дополнено кратким обзором классических результатов Ж.Валирона, Б.Я.Левина, А.А.Гольдберга и недавних продвижений из работ А.Ю.Попова и авторов, напрямую связанных с заданным направлением исследования. Очерчен круг перспективных задач по затронутой тематике.