Аннотация:Задача о построении собственных функций оператора Лапласа в двумерной замкнутой области является важной и хорошо изученной. Нас интересуют некоторые частные случаи такой задачи, а именно - поиск собственных функций оператора Лапласа в окрестности границы области. В таком или похожем виде [1], эта задача также достаточно известна, и в таком варианте имеет близкое отношение к захваченным волнам и шепчущим галереям [2]. В силу условия локализованности собственных функций мы можем разделить переменные на быстрые и медленные и воспользоваться операторным разделением [3], что приводит нас к серии одномерных задач. Мы строим асимптотическое представление локализованных вблизи границы области собственных функций по малому параметру, отвечающему области локализации.Работа поддержана грантом РФФИ 18-05-00057 А.Литература1. Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Некоторые приложения теории комплексного роста к уравнениям с малым параметром // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 1975, том 5, 141-211 2. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач // Москва, Наука, 1972, 456 стр.3. Брюнинг Й., Грушин В. В., Доброхотов С. Ю., Осреднение линейных операторов, адиабатическое приближение и псевдодифференциальные операторы // Математические заметки, 2012, т. 92, вып. 2, 163-179