ИСТИНА

Для уравнения теплопроводности рассмотрена краевая задача, состоящая в определении плотности объемных источников и обеспечивающая заданное финальное распределение температуры. Доказана корректность задачи, построены сходящиеся алгоритмы и предложен алгоритм решения обратной задачи теплопроводности. Получены оценки скорости сходимости метода регуляризации Тихонова для решения абстрактных операторных уравнений и решения задачи L-псевдообращения. Доказаны оптимальные по порядку оценки сходимости метода регуляризации Тихонова в предположении только нормальной разрешимости оператора. Аналогичный результат получен для задачи L-псевдообращения с приближенными данными. Выполнены исследования обратной задачи для абстрактного эллиптического уравнения с условиями Бицадзе-Самарского. Показано, что условия Бицадзе-Самарского в столь общей постановке могут быть сформулированы в форме Дирихле и Неймана. Предложенный подход использует понятия общей аппроксимационной схемы, теорию C_0-полугрупп операторов и базируется на методах функционального анализа. Для непрерывного случая найдены условия существования решения обратной задачи Бицадзе-Самарского в операторной форме. Построены аппроксимационные схемы как для прямой, так и для обратной задачи Бицадзе-Самарского по пространству и времени. Доказаны аппроксимационные теоремы типа Троттера-Като. Доказано, что при компактной сходимости резольвент имеет место устойчивая аппроксимация как по пространству, так и по времени. Получены новые результаты по аппроксимации дробных по времени операторных уравнений в функциональных пространствах. Доказана теорема, утверждающая, что сходимость резольвент и некоторая равномерная по параметру дискретизации оценка на резольвенты аппроксимирующих операторов, эквивалентны сходимости разрешающих семейств операторов на конечном компакте. Найдены достаточные условия, гарантирующие сходимость разрешающих семейств операторов на конечном компакте. Установлено также, что в случае дробных уравнений в банаховом пространстве из экспоненциальной ограниченности разрешающего семейства операторов следует, что область определения инфинитезимального оператора плотна в исходном пространстве. Доказано, что для явной разностной схемы для дробных уравнений в банаховом пространстве имеет место устойчивость. Дано обоснование постановок в классах Гёльдера обратных задач с неизвестными коэффициентами при младших членах в квазилинейных параболических уравнениях. В качестве дополнительной информации о решении рассматривается финальное переопределение. В теплофизической интерпретации такие обратные задачи Стефана состоят в нахождении температурного поля, фазового фронта (например, фронта плавления) и тепловых источников по заданным в конечный момент времени распределению температуры и положению фронта. Получены достаточные условия, обеспечивающие единственность решения таких однофазных и двухфазных коэффициентных обратных задач Стефана. Соответствующие теоремы устанавливают однозначность нахождения искомых источников как пространственно распределенных, так и нелинейных. Указано множество допустимых решений обратных задач Стефана, сохраняющих свойство единственности. Приведен пример потери этого свойства при расширении множества допустимых решений путем включения в него искомых источников, зависящих от времени. Обосновано применение принципа двойственности при доказательстве связи между проблемой единственности для двухфазной обратной задачи Стефана, плотностью множества решений соответствующих сопряженных задач, а также между свойством обратной единственности для линейных параболических уравнений. Разработан и реализован Конвертер с языка Фортран на язык Паскаль (версия Delphi). Конвертер был реализован с помощью средств контекстно-управляемых преобразований ранее созданного в лаборатории инструментального комплекса TeConv. Для пользователей указанного Конвертера была составлена документация, которая размещена на Научно-образовательном интернет-ресурсе НИВЦ МГУ по численному анализу (http://num-anal.srcc.msu.ru).