|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
Преобразования метрик, сохраняющие типы одномерных минимальных заполненийдипломная работа (Специалист)
- Научный руководитель: Тужилин А.А.
- Автор: Липатов С.Ю.
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Год защиты: 2017
- Аннотация: Работа посвящена изучению одномерных минимальных заполнений в смысле М.Громова. А именно, для каждого конечного метрического пространства X рассматриваются связные взвешенные графы G, множества вершин которых содержат X, причем требуется, чтобы расстояние между точками из X не превышало веса каждого пути в G, соединяющего эти точки. Такие G называются заполнениями пространства X. Минимальным заполнением X называется каждое заполнение X, имеющее наименьший возможный вес. Иванов и Тужилин показали, что если метрику пространства X менять линейным образом, то типы минимальных заполнений не меняются. Основная задача курсовой работы – выяснить, какие деформации метрик сохраняют типы минимальных заполнений. Работа состоит из четырех частей. В первой части показывается, что если метрика деформируется применением к ней некоторой функции f, причем эта деформация метрики сохраняет минимальные заполнения, являющиеся невырожденными звездами (соединяющими дополнительную вершину с точками исходного метрического пространства), а также сохраняются невырожденные типы минимальных заполнений четырехточечных пространств, то функция f является линейной. В оставшейся части работы рассматриваются деформации, задающиеся линейными преобразованиями компонент метрики. Показано, что матрицы таких преобразований, являющиеся суммой диагональной матрицы с положительными элементами и матрицы с одинаковыми строками, состоящими из неотрицательных элементов, сохраняют минимальные заполнения типа невырожденных звезд, если и только если первая из матриц – скалярна. Более того, все такие преобразования сохраняют все невырожденные типы минимальных заполнений. В третьей части изучаются аддитивные пространства (их метрики порождаются взвешенными деревьями). Доказывается, что линейное преобразование переводит аддитивные четырехточечные пространства в аддитивные с тем же невырожденным типом минимального, если и только если матрица преобразования скалярна. Наконец, в четвертой части рассматриваются ультраметрические пространства (каждый треугольник в них – равнобедренный с основанием не меньшим, чем боковая сторона). Приводится доказательство того, что каждое ультраметрическое пространство является аддитивным (впрочем, упоминание этого факта было обнаружено в некоторой монографии в виде упражнения), а также что ультраметрические пространства выделяются из аддитивных наличием центра: если рассматривать взвешенный граф как метрическое пространство, склеенное из евклидовых отрезков, длины которых равны весам ребер, то центр – это такая точка, расстояния от которой до точек исходного пространства одинаковы. Последний факт позволяет легко описывать все ультраметрические пространства с одними и теми же типами минимальных заполнений. Также, в случае трехточечных пространств, получено полное описание линейных преобразований, которые переводят ультраметрические пространства в ультраметрические.
- Добавил в систему: Тужилин Алексей Августинович